Посчитать вычет

Vlad128

Надо посчитать вычет z^3 e^(1/z) / (z+1) в нуле.
Я правильно понимаю, что тут надо перемножать ряды и способа проще нет?
Ну т.е. числитель раскладывается очевидно, 1/(z+1) — тоже, а потом записать ряд для коэффициента при 1/z, это же the way? Нет ли способа проще?

Vlad128

АААА! Надо в бесконечности посчитать и вычесть :) :banghead:

Vlad128

Хотяя...
Там надо будет считать [math]$-\frac{1}{3!} \frac{d^3}{dz^3} \left[ \frac{e^z}{1+z} \right]$[/math] и неизвестно, что проще...
Вопрос открыт, что проще :)

Vlad128

Ну вроде это проще, если при последнем дифференцировании учитывать, что будем подставлять z=0.

KaterinKa

forester_200

Меня тоже всегда интересовал этот вопрос.
В случае твоей функции z=0 — с.о.т. (доказывается по определению каких-то хитрых способов считать вычеты в с.о.т. (как, скажем, для полюсов вроде бы, нет. Похоже без выписывания рядов и подсчёта коэффициента при z^(-1) здесь не обойтись.
Рекомендация сначала посчитать вычеты в z=-1 и в б.у.т. ничего не упрощает, поскольку вычет в б.у.т., насколько я понимаю, считается путём замены w=1/z и, опять же, перемножением рядов (точнее, нахождением коэффициента при соответствующей степени).

Vlad128

Рекомендация сначала посчитать вычеты в z=-1 и в б.у.т. ничего не упрощает, поскольку вычет в б.у.т., насколько я понимаю, считается путём замены w=1/z и, опять же, перемножением рядов (точнее, нахождением коэффициента при соответствующей степени).
Нет же. Тут в бесконечности полюс 4го порядка. Там же как раз f(1/z) появляется, т.е. e^(1/z) превращяется, превращается e^(1/z) в e^z!
Ну т.е. используется мега-формула res_infty f(z) = res_0 -1/(z^2) f(1/z).
Да, надо три раза продифференцировать. Ща, прикреплю из мусорки веточку, зря удалил, затуп был :grin:

Vlad128

спасибо, конечно, но мат.пакетами можно и сразу интегралы считать тогда уж :)

KaterinKa

Я не очень помню, честно говоря: как разложить exp(1/z) в ряд в окрестности z = 0 ?
Прямое вычисление интеграла по контуру вокруг нуля дает вычет в нуле: 1/e - 1/3
Вычет в -1: -1/e, вычет в бесконечности: 1/3
Так что все сходится.

Vlad128

что-то этот пост сам себе противоречит :grin: ряды лорана не понимаешь, а и интегралы и вычеты — да.
exp (1/z) = 1 + z^{-1} + 1/2! z^{-2} + 1/3! z^{-3} + ...

KaterinKa

А, точно. Ну сам понимаешь, через 8 лет знания остаются весьма обрывочные. :)
Я просто спутал экспоненту с логарифмом.

Vlad128

О! Я только присмотрелся, что мат. пакет не может его посчитать. Гыгы.

Lene81

Я, конечно, не великий специались в ТФКП, но разве z=0 для твоей функции не существенно особая точка? Для СОТ можно считать вычеты "в лоб"?

lenmas

Для СОТ можно считать вычеты "в лоб"?
Да можно все. Главное, чтобы точка была однозначная и изолированная.

Vlad128

Для сот и для других точек вычет — это коэффициент при z^{-1} в ряде Лорана, никаких хитростей. Выписываешь ряд, находишь вычет.

KaterinKa

Или считаешь интеграл по любому контуру вокруг точки и делишь на 2*pi*i.

Vlad128

Зачем так считать вычеты? :) Ладно, засчитаем за шутку :)

lenmas

Зачем так считать вычеты? :) Ладно, засчитаем за шутку :)
Ну, если функция сложная, то можно и так :)

Vlad128

ну а зачем? Дальше что с ними делать? Или имеется в виду получение коэффициентов в разложении в ряд?

lenmas

ну а зачем? Дальше что с ними делать? Или имеется в виду получение коэффициентов в разложении в ряд?
Я про интеграл для вычисления вычетов. Особенно если известно, что значение вычета целое, то можно приближенно
посчитать интеграл и по нему определить вычет. :)

Vlad128

Еще раз вопрос: зачем нам искать вычеты?
Чаще используя вычеты находят интегралы. Для каких еще других целей нам может понадобиться знать вычет?

Vlad128

А хотя можно себе представить вычисление интеграла по какому-нибудь необъятному контуру...

KaterinKa

А я вот чего не понимаю.
Допустим, у нас есть функция 1/z.
Ее вычет в нуле равен 1, соответственно, интеграл по любому контуру вокруг нуля равен 2*pi*i.
Но этот же интеграл можно рассматривать как интеграл вокруг точки бесконечности, но в ней ведь вычет равен нулю.
Т.е. интеграл вокруг бесконечности отличен от нуля, но вычет в ней равен нулю.
Такие же рассуждения можно провести, взяв функцию z и поменяв в рассуждениях 0 и бесконечность.

griz_a

С чего это вычет в бесконечности у нее 0?

KaterinKa

Ну типа вычет в точке z0 — это коэффициент перед 1/(z-z0) в разложении функции.
Как это обобщается на случай, когда z0 — бесконечность?
Можно считать так, что вычет в нуле — это коэффициент перед 1/z, а вычет в бесконечности мы посчитаем, вывернув комплексную плоскость наизнанку, в результате чего 0 поменяется местами с бесконечностью, а вычет будет коэффициентом перед z.
Ну или иначе — когда мы раскладываем функцию в ряд в нуле, у нас степени z, а когда в бесконечности — у нас степени 1/z. Т.о. при переходе от разложения вокруг нуля к разложению вокруг бесконечности заменяем z -> 1/z, в результате чего окажется, что вычет в бесконечности — это коэффициент перед z.

griz_a

Открой англоязычную википедию и прочитай что такое вычет в бесконечности, чего языком зря молоть.
А про выворачивание - это все фигня. z - отличная голоморфная функция на всем C, с чего бы у нее быть вычету на бесконечности :confused:

KaterinKa

Хмм, судя по приведенной там формуле, вычет 1/z в бесконечности должен быть равен 1.
http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_%28complex_analysis%29#...
Хотя по формулам из другого места от равен -1.
http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_at_infinity

griz_a

Контур-то наоборот обходится :confused:

KaterinKa

Ну вот по первой ссылке написано:
[math]$$\mathrm{Res}(f,\infty)=\lim\limits_{z\rightarrow\infty}z\cdot f(z)$$[/math]
Если [math]$f(z)=1/z$[/math], то [math]$\mathrm{Res}(f,\infty)=1$[/math].
По второй ссылке:
[math]$$\mathrm{Res}(f,\infty)=\mathrm{Res}\left(\frac{-1}{z^2}f\left(\frac1z\right0\right)$$[/math]
Если [math]$f(z)=1/z$[/math], то [math]$\mathrm{Res}(f,\infty)=\mathrm{Res}(-1/z,0)=-1$[/math]

griz_a

Значит по первой ссылке косяК, должен быть -1

lenmas

Еще раз вопрос: зачем нам искать вычеты?
Чаще используя вычеты находят интегралы. Для каких еще других целей нам может понадобиться знать вычет?
Ты мало знаком с тфкп. Например, 1/2*pi*i \int_C(f'(z)/f(zdz=N-P, где N --- число нулей, P --- число полюсов f(z)
внутри контура С. То-есть, вычислив интеграл численно приближенно и зная, что он целый, можно определять
наличие нулей внутри контура и таким образом локализовывать нули и полюса аналитической функции.

KaterinKa

Да вот хочется понять как-то, в каких случаях нужно считать вычет на бесконечности.
Допустим, если у функции в точке z0 есть полюс или существенно особая точка, то понятно, что в этой точке она имеет ненулевой вычет, и через нее нельзя перетащить контур интегрирования.
Если же в точке z0 функция имеет ноль n-го порядка, то через эту точку контур интегрирования можно перетаскивать.
В случае же, если z0 — бесконечность, как, глядя на функцию, можно сказать, равен нулю ее вычет в бесконечности или нет?
Та же функция 1/z, казалось бы, плавно убывает в бесконечности до нуля, а вычет ненулевой.
А z неограниченно растет к бесконечности, а вычет равен нулю.

griz_a

Допустим, если у функции в точке z0 есть полюс или существенно особая точка, то понятно, что в этой точке она имеет ненулевой вычет, и через нее нельзя перетащить контур интегрирования.
[math]$ 1/z^2$[/math]

KaterinKa

Ну да, я имел в виду необходимое условие, а не достаточное.
Если в точке z0 — полюс или существенно особая точка, то вообще говоря, в этой точке она может иметь ненулевой вычет, и через нее не всегда можно перетащить контур интегрирования.

Vlad128

я же писал мега-формулу в этом треде, надо смотреть вычет -1/z^2 f(1/z) в нуле.

KaterinKa

Ага, значит, тогда вблизи [math]$z=0$[/math]
[math]$$-\frac1{z^2}f\left(\frac1z\right)\sim\frac{a}z$$[/math],
откуда вблизи [math]$z=\infty$[/math]
[math]$$f(z)\sim-\frac{a}z$$[/math].
Т.е., если [math]$f(z)$[/math] убывает на бесконечности быстрее, чем [math]$1/z$[/math] , то ее вычет на бесконечности точно равен нулю.
В противном случае (в том числе, если функция на бесконечности растет) вычет может как быть, так и не быть равным нулю.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: