Посчитать потенциал

SergD

для шара радиуса 1 в R3 с плотностью заряда r*sin(ф) в сферических координатах r, ф, theta. Надо для урчпов, так что физическим смыслом не злоупотреблять. Просто так интеграл не считается, замена, которую делали в случае зависимости плотности только от радиуса не работает:(.
Меняю сок на подробно разжеванное решение задачки...

griz_a

Какой интеграл-то? Может считается все-таки?

SergD

Считаем потенциал объемных масс
Интеграл по объему функции r*sin(ф)/sqr[(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2], где x0, y0, z0 - координаты точки, в которой считают потенциал. То есть плотность надо поделить на расстояние от точки интегрирования до фиксированной заданной точки А(x0, y0, z0).

MaMMolog

По-моему, эта задача давалась в курсе электрода. Значит, либо в Ландафшице, либо где-то в этом роде она разобрана

SergD

а в каком томе не подскажешь? а то я не физик и плохо ориентируюсь в этом учебнике. В "Теории поля" нет

MaMMolog

"Электродинамика сплошных сред". Если не там - значит, в Батыгине-Топтыгине

Lene81

всюду

SergD

почему 0?

Lene81

почему 0?
Начнем с главного: это правильно?

griz_a

Я вот слабо в это верю, при второй точке не 0, ибо положительные члены будут входить с большей массой, чем отрицательные

Lene81

Я вот слабо в это верю, при второй точке не 0, ибо положительные члены будут входить с большей массой, чем отрицательные
По теореме Гаусса поток вектора напряженности электического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри. Нетрудно посчитать, что заряд сферы с указанной выше плотностью - 0.

griz_a

Я, конечно, не в теме, но что, шар этот к сфере редуцируется?

Lene81

Я, конечно, не в теме, но что, шар этот к сфере редуцируется?
Достаточно охватить указанный шар воображаемой сферой радиуса >1

Lene81

Ладно, для математиков разжевываю (, с Вас сок )
искомый потенциал (с точностью до размерных констант, которые я никогда не помнил)
V(r) = \int\limits_\text{сфера радиуса 1}{\frac{\rho(r')}{|r-r'|}\ dr'}
Разложим \frac{1}{|r-r'|} в ряд при r>r'
\frac{1}{|r-r'|} = \frac{1}{r}\sum\limits_{l=0}{\left(\frac{r'}{r}\right)^l \mathrm{P}_l(\cos\theta)}, где
P_l - полином Лежандра, \cos\theta - угол между векторами r и r'
Теперь повернем систему координат так, чтобы r лежал по оси z. Тогда \theta станет азимутальным углом вектора r' и можно выполнить интегрирование в обычных координатах. При этом, однако, изменится аргумент \phi у плотности: он станет равным \sin(\phi-\phi_r где \phi_r - полярный угол вектора r. Выполняя интегрирование, видим, что интеграл по \phi нулевой:
\int\limits_0^{2\pi}{\sin(\phi-\phi_r)}\ d\phi=0.
Собственно, ответ.
Осталось еще посмотреть на случай r<r', но мне лень

SergD

И все таки что-то здесь подозрительно. Наш шарик по сути - две склеенные одинаковые по распределению заряда на разные по знаку заряда половинки. Из соображений симметрии в плоскости по которой склеили потенциал очевидно нуль. Но вот если взять какую либо точку не на этой плоскости, то половинки шара на нее по разному влияют.
Это в общем то перефразированная мысль , и так по крайней мере здравый смысл подсказывает.
Так что , выбирайте пока сок, а я поищу очепятки в доказательстве

MaMMolog

Приведенные выше формулы и слова мне проверять лениво, но аргумент со ссылкой на Остроградского-Гаусса некорректен. Если суммарный поток через замкнутую поверхность равен нулю, отсюда отнюдь не следует, что и напряженность равна нулю. Применимо к данной ситуации, можно лишь утверждать, что напряженность с одной стороны противоположна напряженности с обратной стороны - заметь, это утверждение, следующее лишь из соображений симметрии, более сильное, чем факт того, что поток равен нулю.

yulic

()
Да, кажется я все-таки ошибся

yulic

()
Мы тут уже вдвоем сидим. Пришли к выводу, что если бы плотность была rsin(\theta то задача решается тривиально. Автор, проверьте, а? А то не хочется ночь провести, решая не ту задачу

atashechka

Элементарно : разложение по полиномам. Можно посмотреть Джексона ,Электродинамика,

yulic

Элементарно : разложение по полиномам. Можно посмотреть Джексона ,Электродинамика,
По каким?
По присоединенным полиномам Лежандра уже разлагали - элегантных выражений не получается. Ряд остается бесконечным

atashechka

Эта задача на решение уравнения Лапласа в сферической системе координат.Ответ через разложения по сферическим функциям.

yulic

Эта задача на решение уравнения Лапласа в сферической системе координат.Ответ через разложения по сферическим функциям.
Мы уже второй час решаем, разлагая по сферическим функциям. Начнем с того, что функция \sin\phi не является никакой сферической функцией. Посему ряд остается бесконечным, как я уже писал.

atashechka

А не надо sin(phi) разлагать , по sin можно эл. но проинтегрировать .

yulic

()
Угу, и останется бесконечный ряд присоединенных полиномов Лежандра с m=+-1 и любыми l, (которые остаются после интегрирования с sin\phi).

atashechka

Так это нормально такой ответ получить . Бесконечный он тогда, когда
R=r / Все вопрос закрыт.

yulic

(не )
Ничего нормального в бесконечной сумме полиномов от углов, определяющих R3 не вижу. Конечно автора может и устроит такой ответ, но по сути это не чем не будет отличаться от просто записи разложения обратного расстояния.
P.S. Не вы вопрос поставили, не вам и закрывать.

yulic

(не )
А к автору просьба еще раз пересмотреть условие задачи. В таком варианте
она несколько нетривиальна - это раз. А два - это то, что такой потенциал
неопределен и имеет разрыв по оси z (или theta=0).

SergD

To : К сожалению, элементарная задачка про rsin(\theta) досталась другому варианту, так что никакой опечатки в условии нет. Препод даже подтвердил, что разрывность потенциала никак не мешает его вычислению.
Есть еще идея посчитать потенциалы тонких сфер разных радиусов, а потом проинтегрировать полученное выражение по r. Но пока что то не выходит...
Тем не менее спасибо всем, не жалеющим времени на этот сложный вопрос.

SergD

И кстати вклад отрезка [-1,1] оси z в общий потенциал равен нулю - разве нет?

SergD

Подошла вчера к преподу... Он признал, что сделал опечатку и плотность выглядит как r*sin(\theta).
Честно прочитала Джексона. Попробовала посчитать потенциал на оси z для вычисления коэффициентов разложения - что то тоже неприятные выражения получаются. Ряд по полиномам Лежандра получается, но не суммируется к чему-нить красивому.
, если вы решили задачку с r*sin(\theta) - может поделитесь?
Прошу прощения за предыдущую дезинформацию с условиями...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: