"Олимпиадная" задачка на последовательности

vitamin8808

[math]$x_0=1, x_{n+1}=1+\frac{2}{3x^2_n}$[/math].
Найти формулу общего члена последовательности.
Пробовал искать [math]$x_{n}=\frac{a_n}{b_n}$[/math], получается
[math]$a_{n+1}=3a_n^2+18a^4_{n-1}$[/math].
Решение не знаю. Злобная какая-то задачка.

svetik5623190

Попробуй вычесть из левой и правой части x_n, тогда слева получится нечто типа производной x по n. Устремляя (как бы) в левой части уравнения в дроби [math]$\frac{x_{n+1} - x_n}{1}$[/math] стоящее в знаменателе 1 к 0, получаем дифур. Попробуй его решить, может, наведёт на какие-нибудь мысли. Иногда этот метод помогает. Поможет ли тут - хз.

seregaohota

Если подставить [math]$x$[/math] вместо [math]$x_{n+1}$[/math] и [math]$x_n$[/math] и решить кубическое уравнение, то можно доказать, что [math]$\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \dfrac{\alpha+1+\frac{1}{\alpha}}{3}$[/math],
[math]$\alpha=\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}$[/math]
Может поможет...

seregaohota

Вообще вспоминается, и что последовательные приближения численного решения уравнения [math]$f(t)=0$[/math] методом Ньютона (касательных)
[math]$t_{n+1}=t_n - \frac{f(t_n)}{f'(t_n)}$[/math],
и что последовательные приближения корня 3-ей степени [math]$f(t)=t^3-a=0$[/math] методом Ньютона
[math]$t_{n+1}=t_n - \frac{t_n^3-a}{3t_n^2}$[/math]
С другой стороны, если нарисовать графики [math]$y=x$[/math] и [math]$y=1 - \frac{2}{3x^2}$[/math], то графическая иллюстрация процесса, сходящегося к пределу в предыдущем посте будет

Приближения идут с верху и снизу, это похоже будут подходящие дроби к пределу из предыдущего поста, формулы для них есть, книжек по цепным дробям под рукой нет. Хотя для кубических (в отличие от квадратичных) иррациональностей там цепные дроби непериодические, может не удастся закономерность поймать.
Если [math]$t_n=3x_n-1,\quad x_n=\frac{t_n}{3}-\frac{1}{3}$[/math] или ещё как преобразовать, чтобы не подходящие дроби к пределу [math]$\alpha + \frac{1}{\alpha}$[/math], а подходящие дроби к пределу [math]$\alpha$[/math] как-то преобразовать.
Хотя похоже не надо идти этим общим путём, есть какая-то изюминка, до чего-то может догадаться надо.

seregaohota

В последней формуле для x_n ошибка, что-то редактирование глючит.
Если в методе Ньютона перенести t_n налево, то получаем то нелинейное конечноразностное уравнение, о котором говорил. И мне что-то не удаётся преобразвать исходное уравнение к виду f/f' какой-нибудь заменой, хотя я и не уверен, что для метода Ньютона при конкретных f какие-то формулы кроме рекурентных для последовательных приближений есть.
PS Решите уже кто-нибудь, блин дела горят, а тут эта задачка олимпиадная. :) Хоть какая олимпиада-то?

svetik5623190

PS Решите уже кто-нибудь, блин дела горят, а тут эта задачка олимпиадная.
:grin:

Lene81

PS Решите уже кто-нибудь, блин дела горят, а тут эта задачка олимпиадная. :) Хоть какая олимпиада-то?
+1
Сцуко, вчера до головной боли нарешался

lenmas

Да, что-то кроме замены y_n=x_n-1 и соответственно
[math]  $$  y_{n+1}=\frac{2}{3(1+y_n)^2}  $$  [/math]
не лезет в голову :crazy:
Можно еще дальше подзаменить z_n=sqrt(3y_n/2 то-есть
[math]  $$  z_{n+1}=\frac1{1+2z_n^2/3},  $$  [/math]
но по большому счету это то же, что было вначале (особенно после замены 1/z_n :grin: ).
В общем это все мысли вслух, ни к чему ни приведшие :)

seregaohota

Короче нифига эта последовательность не подходящие дроби к тому пределу, если я в вычислениях и проверках не наврал :) В Википедии про цепные дроби к тому же написано, что известны цепные дроби (и соответственно формулы для подходящих дробей) для квадратичных иррациональностей, и для некоторых транчцендентных неалгебраических чисел, через них же доказано что дзета(3) неалгебраическое. Для кубических иррациональностей про цепные дроби ничего неизвестно путного, и если бы в этой олимпиадной задаче вылезали подходящие дроби, то это бы на хороший результат тянуло по цепным дробям. :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: