Условия перестановки предела и интегрирования

SemenCo

При каких условиях можно переставить предел и интеграл?
\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_n (x) dx
Заранее спасибо.

dal-las

Вроде, достаточно равномерной сходимости функций f_n.

vovatroff

В теории Римана. В теории Лебега много полезных теорем, позволяющих делать
переход к пределу при более слабых предположениях.

choconasty

Классическое достаточное условие, из двух пунктов (интегралы в смысле Римана):
1) На любом [a, b]: fn(x) сходится равномерно к f(x) по x при n, стремящемся к бесконечности.
2) Несобственный интеграл по R от fn(x) сходится равномерно по n.
Одного первого условия недостаточно.
Абсолютная сходимость здесь нигде не фигурирует.

SemenCo

Что такое равномерная сходимость числовой последовательности?
это к
2) Несобственный интеграл по R от fn(x) сходится равномерно по n.

choconasty

Равномерная сходимость не последовательности, а несобственного интеграла (как предела собственного зависящего от параметра n.
По множеству всех натуральных чисел.
В данном случае это равносильно тому, что хвосты (по R\[a, b]) интеграла от fn(x) оцениваются функцией, не зависящей от n, и стремящейся к нулю, при "уменьшении" хвостов (a и b независимо стремятся к минус и плюс бесконечности соответственно).

8686087

Самое лучшее для применений достаточное условие - это теорема Лебега. Требуется дополнительно, чтобы |f_n(x)|<f(x где f - интегрируемая функция (понятно, не зависящая от n). А с равномерностью сходимости - плохой признак, в приложениях замучаетесь доказывать эту равномерность.

vovatroff

А с равномерностью сходимости - плохой признак, в приложениях замучаетесь доказывать эту равномерность.
Хуже того, в приложениях ее может просто не быть. Имел практический опыт в своей области,
когда для обоснования перехода к пределу пришлось расширить кругозор и изучить самому теорию
интеграла Лебега. Никакой равномерности сходимости в моем случае не было, что было видно невооруженным глазом, так что теория Римана не помогла бы. Почему студентам-нематематикам внушают только интеграл Римана, а про интеграл Лебега не говорят? это же просто и красиво !
Спасибо хорошим книжкам типа Колмогорова-Фомина ! (форумов тогда еще в природе не существовало)

lenmas

Потому что нематематикам этот интеграл Лебега нафик не нужен. И даже математикам по большей части можно обходиться без него. Единственное место, где он используется по существу, это в функциональном анализе, когда идет речь о полноте пространств интегрируемых функций
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: