Функция Мебиуса.

stm7528886

Почему сумма M(d) по всем числам d, делящим n, равна нулю?

aqvamen

попробуй все эти числа выписать. скажем, начни с n=p1*p2 (впрочем, может я неправильно вспомнил определение ф-ции Мёбиуса дальше - довольно простая индукция

976evil

Равна 1, если n = 1 и равна 0, если n > 1.

igoria

) Функция Мебиуса мультипликативна, то есть M(a*b)=M(a)*M(b если a и b взаимопросты.
2) Фиксируем число n>1 и разложим его на множители n=p_1^{n_1}*...p_k^{n_k}, где p_1,...p_k -- различные простые числа, n_1,...,n_k и k -- натуральные. Такое разложение единственно, с точностью до перестановки множителей.
3) В силу 2) все делители d числа n выглядят следующим образом d=p_1^{d_1}*...p_k^{d_k}, где 0<=d_i<=n_i (i=1,...,k). Других делителей нет. (Кстати отсюда получаем, что количество делителей Тау(n)=(n_1+1)*...*(n_k+1.
4) Возьмем произведение по i=1,...,k таких сумм (1+M(p_i)+M(p_i^2)...+M(p_i^{n_i}=(1-1+0+...+0)=0. С одной стороны получим 0. С другой стороны, так как выполнено 1 то, раскрыв скобки, в силу 3 получим сумму функции Мебиуса по всем делителям.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: