Задача по теории симметрии

Leta

Показать, что группы D4(422) и D2d(-42m) изоморфны

vovatroff

Составить таблицы умножения элементов групп и сравнить. По определению. (муторно).
2. Сравнить таблицы характеров. У изоморфных групп они должны совпадать (легко).
Если задача делается для себя, из интереса, то я бы посоветовал способ 2. Если же это
надо сдавать или кому-то еще объяснять, то может последовать вопрос, при чем тут
таблицы характеров (на него в двух словах не ответишь). Поэтому тогда лучше способ 1.

goga7152



2. Сравнить таблицы характеров. У изоморфных групп они должны совпадать (легко).
То что верно обратное, не слишком очевидно (что такое "_таблицы_ характеров"?). На этот счет мне известна только теорема Таннаки, показывающая как восстановить компактную группу по категории ее конечномерных представлений.

asics167

Действительно, пункт 2 не будет правомерен в этой задаче, т.к. существуют неизоморфные группы с совпадающими таблицами характеров.
Классический пример - группы диэдра (группа самосовмещений правильного четырехугольника) и кватернионов D_4 и Q_8.
В общем случае, такие группы существуют среди неабелевых, начиная с порядка групп 8.
(Таблица характеров - см., например, Винберг, пар. Линейные представления конечных групп)

vovatroff

А чем способ 1 не устраивает?
> (что такое "_таблицы_ характеров"?)
Я полагал, человек в курсе дела Таблицы характеров суть таблицы характеров неприводимых представлений точечных (и не только) групп. Их (и пояснения к ним) можно найти в приложениях к любой книжке по квантовой механике (или строению) молекул, в некоторых руководствах по собственно квантовой механике типа Ландау-Лифшиц т.3. Выводить самостоятельно их не требуется, хотя и полезно
Насчет математической литературы не уверен, могу упомянуть только учебник Головиной "Линейная алгебра и некоторые ее приложения", если кто не знает, это книжка для продвинутых химиков (из 11 группы химфака она должна быть даже в БУПе. Из классиков можно смотреть монографии Г.Вейля, он занимался приложениями теории групп в квантовой физике.
Изоморфные группы обладают одинаковым набором неприводимых представлений (с точностью до выбора базиса в каждом из них, но на характеры это не влияет). Поэтому таблицы характеров у них совпадают. Насчет обратного - вроде тоже верно, см. литературу. Кстати, всюду имеются в виду исключительно конечные (и, возможно, компактные непрерывные типа SO(3 группы и их унитарные представления ! На всеобщность не претендую.

vovatroff

Пример, плиз.

goga7152



Я полагал, человек в курсе дела
Я кажется знаю, что такое таблица характеров (это таблица значений характеров на элементах группы). Вопрос скорее в том, как сравнивать эти таблицы для разных групп (не имея конкретного изоморфизма)?
 
Насчет обратного - вроде тоже верно, см. литературу.
Не уверен. Как я уже писал выше, компактную группу можно восстановить по ее _категории конечномерных представлений_. Мне например не вполне понятно (хотя может это и верно как восстановить тензорное произведение представлений пользуясь только таблицей характеров.
 
P.S.: Кстати есть еще отличная книжка Серра по представлениям конечных групп.

vovatroff

Что такое группа кватернионов D_4 и почему она не изоморфна диэдральной группе с тем же символом?
Поподробнее, если не сложно.

goga7152



Действительно, пункт 2 не будет правомерен в этой задаче, т.к. существуют неизоморфные группы с совпадающими таблицами характеров.
Классический пример - группы диэдра (группа самосовмещений правильного четырехугольника) и кватернионов D_4 и Q_8.
Правильно ли я понимаю, что имеется в виду следующее. Существует биекция групп φ: D_4 --> Q_8 такая что χ'(φ(g=χ(g) для любого характера χ группы D_4 и соотв. ему характера χ' группы Q_8 ?
 
(Иначе непонятно как сравнивать _таблицы_ характеров разных групп?)

vovatroff

>Как я уже писал выше, компактную группу можно восстановить по ее _категории неприводимых >представлений_
1. А конечную группу?
2. Что такое категория неприводимых представлений? Однозначно ли она связана с самим набором
неприводимых представлений?
Пример. Вот у меня есть компактная группа SO(3). У нее есть неприводимые представления размерностей 1, 3, 5, 7, ..., общеизвестные в атомной физике под символами s, p, d, f, ... У них есть явная матричная реализация в базисе сферических гармоник. У этих матриц есть следы -- характеры данного представления. И есть еще гомоморфная группа SU(2 у которой данные представления тоже наличествуют, но помимо них, есть еще и неприводимые представления четных размерностей 2, 4, 6,... (которые связаны со спином электрона). Для группы SO(3) они представлениями не являются (т.к. в них поворот на 360 градусов не есть тождество).
Правильно ли я понимаю, что проблема неоднозначности здесь состоит в том, что я не могу просто по показанной мне таблице характеров представлений s, p, d, f, ... сказать, отвечает ли она группе SO(3) или SU(2)? Ведь они обе - трехпараметрические, поэтому "таблица характеров" в обоих случаях есть просто набор функций от трех переменных U(\phi, \theta, \khi формально совпадающий?
И не решается ли тогда проблема однозначности восстановления группы ссылкой на полноту или неполноту системы неприводимых представлений для каждого из этих двух случаев ?

vovatroff

Я исходил именно из такого определения. Заодно спасибо за разъяснение по ходу дела касательно смволов группы кватернионов и группы D_4.

asics167

Группой кватернионов Q_8 является множество элементов {1, i, j, k, -1, -i, -j, -k} c определенными правилами умножения этих элементов (i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij=k).
Неизоморфна она с группой диэдра, я бы сказала, потому, что при задании их элементами с системами порождающих у них получаются элементы разных порядков (невозможно задать изоморфные системы порождающих)... Если честно, не успеваю сейчас сказать точнее.
Об этом наверняка написано в хорошем учебнике по теории групп, возможно, в Бахтурине...
(Если удастся найти трехтомник Кострикина (не так давно выпущенный то там вообще много примеров разобрано.)

asics167

 
Правильно ли я понимаю, что имеется в виду следующее. Существует биекция групп φ: D_4 --> Q_8 такая что χ'(φ(g=χ(g) для любого характера χ группы D_4 и соотв. ему характера χ' группы Q_8 ? (Иначе непонятно как сравнивать _таблицы_ характеров разных групп?)

Может, и правильно... : )
Сравнивать таблицы - на взгляд, выписать их и сравнить, с точностью до перестановки строк. Ну, не только строк, возможно - блоков, если группа разложима в произведение простых циклических... Опять же, сразу видно, если порядки у элементов разные.

goga7152

1. А конечную группу?
Конечная группа компактна (причем в любой топологии, даже дискретной )

2. Что такое категория неприводимых представлений? Однозначно ли она связана с самим набором
неприводимых представлений?
Пардон, описался -- не неприводимых, а конечномерных. Объекты этой категории Π(G) -- конечномерные представления (над данным полем морфизмы -- сплетающие операторы (т.е. операторы, перестановочные с действием группы). Исходная топологическая группа восстанавливается как группа всех представлений категории Π(G) (подробности -- см. Кириллов, Элементы теории представлений, § 12).

vovatroff

пардон, теперь я не понял. Вы привели пример чего: когда таблицы характеров не совпадают, или когда группы неизоморфны? Я имею в виду ваш пример про D_4 и Q_8.
Nobody, на мой взгляд, совершенно правильно написал: изоморфизм = > биекция групп = > равенство характеров для соответствующих элементов.

asics167

А, да, пардон, я неверно написала.
Таблицы характеров совпадают, группы неизоморфны.
Если группы изоморфны, то таблицы характеров у них, конечно, совпадают. В эту сторону верно.

vovatroff

> Конечная группа компактна (причем в любой топологии, даже дискретной )
Это-то понятно Просто конечные группы, я надеюсь, все же лучше изучены, и для них, вообще говоря, можно ожидать более сильных теоретико-групповых результатов, чем для бесконечных компактных.

goga7152


Действительно, пункт 2 не будет правомерен в этой задаче, т.к. существуют неизоморфные группы с совпадающими таблицами характеров.
Классический пример - группы диэдра (группа самосовмещений правильного четырехугольника) и кватернионов D_4 и Q_8.


Биекция групп?.. Хм Может, и правильно, только что-то тут нечисто, таблицы характеров же не совпадают. : )

goga7152



Правильно ли я понимаю, что проблема неоднозначности здесь состоит в том, что я не могу просто по показанной мне таблице характеров представлений s, p, d, f, ... сказать, отвечает ли она группе SO(3) или SU(2)? Ведь они обе - трехпараметрические, поэтому "таблица характеров" в обоих случаях есть просто набор функций от трех переменных U(\phi, \theta, \khi формально совпадающий?

По-видимому, мы говорим немного о разных вещах (чувствую, что сам увел разговор в сторону )

Если вернуться к исходному вопросу, следует ли из совпадения таблиц характеров изоморфизм групп, то вроде бы привела контрпример к этой гипотезе.

vovatroff

> Группой кватернионов Q_8 является множество элементов {1, i, j, k, -1, -i, -j, -k} c определенными
> правилами умножения этих элементов (i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij=k).
Про неизоморфность D_4 и Q_8 понял, спасибо. Действительно, в D_4 есть элемент четвертого порядка (как раз поворот квадрата на 90 градусов вокруг оси четвертого порядка а у Q_8
элементов таких порядков нет, судя по представленному фрагменту таблицы умножения.
Вопрос: Q_8 -- абелева (коммутативная) группа? Тогда все ее неприводимые представления должны быть одномерными, и ее таблица характеров точно НЕ БУДЕТ совпадать с таблицей для D_4: она неабелева, и у нее есть двумерное неприводимое представление.

goga7152



у Q_8
элементов таких порядков нет, судя по представленному фрагменту таблицы умножения.
Посмотрите внимательнее
 
Вопрос: Q_8 -- абелева (коммутативная) группа?
Нет.

vovatroff

Так всегда бывает при междисциплинарных беседах. Тем интереснее.
Я думаю, наоборот, что мы говорим об одном и том же, просто запас ассоциаций
немного разный. Хотя с математиками я на темы науки общался, и понимать
их, вроде, могу. Как и они меня, если сами не ленятся
И вообще, как там хозяин поста? Вопрос задал и скрылся, а мы за него решаем...

asics167

Вопрос: Q_8 -- абелева (коммутативная) группа? Тогда все ее неприводимые представления должны быть одномерными, и ее таблица характеров точно НЕ БУДЕТ совпадать с таблицей для D_4: она неабелева, и у нее есть двумерное неприводимое представление.

Неа, это некоммутативные группы, в том и дело. Полная совокупность правил умножения в Q_8 : ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j (легко запомнить по правилу "часовой стрелки", если нарисовать i, j, k на окружности). Сразу не все их написала, извините.
Кстати, Q_8 и D_4 - единственные, с точностью до изоморфизма, неабелевы группы порядка 8.
Можно даже поискать доказательство, при желании...

vovatroff

> Посмотрите внимательнее
Спасибо, теперь вижу. Целых шесть. А в D_4 только один.
Отсюда, видимо, и некоммутативность... Подумаю.

vovatroff

Я вот думаю, не изоморфна ли ваша Q_8 какой-нибудь другой точечной группе восьмого порядка. Помимо D_4, есть ведь еще С_4v (симметрия квадратной пирамиды D_2d (про которую как раз спрашивал автор поста остальные вроде абелевы. Таблицы характеров у всех перечисленных точечных групп совпадают.

asics167

А симметрии квадратной пирамиды чем отличаются от D_4 ?
И что такое D_2d (я этого не знаю)?

vovatroff

В пирамиде с квадратом в основании имеется ось симметрии 4-го порядка (С_4) и четыре проходящие
через нее вертикальные плоскости симметрии. Список элементов группы C_4v поэтому такой:
{e, r, r^2, r^3; s, sr, s', s'r}, где e - тождество, r- поворот вокруг оси C_4 на 90 градусов, s - отражение в вертикальной плоскости симметрии, проходящей через середины сторон квадрата, s' - аналогично для проходящей по диагонали квадрата. Список классов сопряженных элементов: e; (r, r^3); (r^2); (s, sr);
(s', s'r).
Группа D_4 - группа вращений четырехугольной бипирамиды. Она изоморфна C_4v (и поэтому они обе тогда уж неизоморфны Q_8 ! но в ней вместо вертикальных плоскостей фигурируют опрокидывающие оси второго порядка, перпендикулярные оси C_4.
Группу D_2d словами описать несколько сложнее, но можно. Возьмем правильный тетраэдр и закрасим у него две вершины одним цветом, а другие две - другим цветом. (На химическом языке: возьмем метан CH_4 и заместим два атома водорода другими атомами, например, двумя хлорами или двумя фторами). Получится искаженный тетраэдр. У него не останется осей третьего порядка, но останется зеркально-поворотная ось четвертого порядка (S_4 поэтому группа неабелева.

vovatroff

> Показать, что группы D4(422) и D2d(-42m) изоморфны
Ну как, , показал?

asics167

Понятно. В наших обозначениях просто D_4 - группа симметрий квадрата - так она ничем не отличается от симметрий квадратной пирамиды. Представьте, если убрать вершину пирамиды и все третье измерение, то что при этом изменится?
У бипирамиды добавляются опрокидывающие симметрии, связанные существенно с наличием третьего измерения, поэтому порядок группы будет, вроде как, больше восьми.

vovatroff

Все верно. Вы рассматриваете их как подгруппы O(2 а я - как подгруппы O(3).
Единственное замечание: про бипирамиду имелась в виду лишь группа ее ВРАЩЕНИЙ симметрии, т.е. подгруппа SO(3 а не всей O(3). Тогда группой является D_4, как я ее выше описал, и она изоморфна группе C_4v - группе ВСЕХ преобразований симметрии квадратной пирамиды.
Если же брать ВСЕ преобразования симметрии бипирамиды, включая отражения, то группа будет вдвое большего порядка (D_4h но она устроена просто: как прямое произведение D_4 и группы второго порядка.

asics167

Действительно, спасибо. (Читать мне надо лучше )
Про тетраэдр - первым делом насчитывается одна ось поворота на 180 градусов, второго порядка, и одна плоскость симметрии, проходящая через эту ось. Остального пока не вижу
, выручайте!

goga7152



Про тетраэдр - первым делом насчитывается одна ось поворота на 180 градусов, второго порядка, остального пока не вижу
, выручайте!

 
Если речь про группу вращений тетраэдра, то в ней есть нормальная нециклическая подгруппа порядка 4 ("четверная группа Клейна" состоящая из 1 и поворотов на π относительно 3-х отрезков, соединяющих середины противоположных ребер, и 4 подгруппы порядка 3, состоящие из поворотов на углы, кратные 2π/3, относительно высот.

vovatroff

>Если речь про группу вращений тетраэдра, то в ней есть нормальная нециклическая подгруппа
>порядка 4 ("четверная группа Клейна" состоящая из 1 и поворотов на π относительно 3-х отрезков, >соединяющих середины противоположных ребер, и 4 подгруппы порядка 3, состоящие из поворотов на >углы, кратные 2π/3, относительно высот.
Имеется в виду та подгруппа группы ВСЕХ 24-х преобразований симметрии (включая отражения и зеркальные повороты) тетраэдра, которая остается после удаления из него поворотных осей симметрии третьего порядка. Рецепт раскрашивания тетраэдра см. выше

vovatroff

>Про тетраэдр - первым делом насчитывается одна ось поворота на 180 градусов, второго
> порядка, и одна плоскость симметрии, проходящая через эту ось. Остального пока не вижу
>
Плоскостей, проходящих через эту ось (условно назовем ее "главной" не одна, а две, и они
пересекаются под угом 90 градусов.
Есть еще две оси второго порядка, перпендикулярные "главной", их надо поискать
Ну и, наконец, "главная" поворотная ось является по совместительству еще и
зеркально-поворотной осью четвертого порядка. С ней связаны еще два преобразования
симметрии, которые называются зеркальными поворотами S_4 и (S_4)^3
(Если непонятно, как они устроены, могу пояснить ). Итого операций 8.

goga7152

А в чем вопрос? Описать эту группу? Или найти в ней какой-то определенный элемент? Или доказать что она неабелева?

vovatroff

Ни в чем из перечисленного. Точнее - на эти вопросы ответы науке известны.
Вопрос был в том, есть ли вообще точечные группы, изоморфные Q_8. Из неабелевых точечных групп 8-го порядка, кроме D_4, припоминаются еще только две: C_4v (она изоморфна D_4, след-но, НЕ изоморфна Q_8 и D_2d. Последняя устроена хитрее, о ней пока и беседуем. Присоединяйтесь

asics167

Значит, что я могу сказать.
Если задача об изоморфизме Д_4 и Д_2д решается положительно, то вот вам изоморфизм, ставящий в соответствие одно другому.
Отражения относительно плоскостей симметрии, проходящих через "главную" ось - порождающие элементы. Их порядок равен двум. Обозначим эти отражения для наглядности через a и b.
Поворот на 180 вокруг "главной" оси, похоже, записывается как их произведение ab. (Проверьте!)
Повороты относительно других двух осей (их я так и не увидела) наверняка тоже выражаются как-то через a и b. Проверьте, должно быть так.
И самое интересное - определяющие соотношения в этой группе симметрий.
a^2=1, b^2 = 1, (ab)^4=1.
(последнее равенство, вроде бы, Вы сами утверждаете в посте, на который я отвечаю)
Два элемента с такими определяющими соотношениями и задают группу симметрий квадрата Д_4.
В Д_4 a - это отражение относ. прямой, проходящей через центры сторон, b - отражение относительно диагонали. Можете проверить, при таком определении выполняются в точности написанные выше соотношения между a и b.
На вопросы, если будут, постараюсь ответить.

vovatroff

Спасибо! Я обдумаю.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: