функан. Помогите, пожалуйста

praktik69

привести пример такого конуса К в нормированном пространстве Х, что К имеет пустую внутренность и Lin (К) всюду плотно в Х. Показать, что если dimX - конечное число, то такой пример невозможен.

antill

любопытная задача :)
привести пример такого конуса К в нормированном пространстве Х, что К имеет пустую внутренность и Lin (К) всюду плотно в Х.
Показать, что если dimX - конечное число, то такой пример невозможен.


Открываем АТФ (Алексеев, Тихомиров, Фомин. Оптимальное управление читаем: Множество К называется конусом (с вершиной в нуле если вместе с любой своей точкой a оно содержит и весь луч {ta : t>0}. Соответственно, рассмотрим на плоскости X=R^2 множество, равное объединению двух лучей, исходящих из начала. Это --- конус, внутренность очевидно пуста, линейная оболочка очевидно равна R^2, а уж её замыкание и подавно :grin:
С другой стороны, возможно, на лекциях (кстати кто лектор?) конус определялся как выпуклое множество, являющееся конусом. Тогда рассмотрим в пространстве X=C[0,1] базис Шаудера В, образованный функциями 1, x, x^2, ... Пусть К - его коническая оболочка, т.е. множество всех многочленов с положительными коэффициентами. Непосредственно проверяется, что К --- выпуклый конус. Также очевидно, что линейная оболочка К плотна в X, поскольку B плотно в Х т.к. В --- базис Шаудера, и В --- подмножество К.
Докажем теперь, что внутренность К пуста. Пусть это не так, тогда существует шарик c центром в некоторой точке х достаточно маленького радиуса r, целиком лежащий в К. По построению х лежит в К, т.е. х --- многочлен с положительными коэффициентами. Однако функция x(t) + (r/2)*sin(t) тоже лежит в этом шарике, хотя и не является многочленом с положительными коэффициентами. Противоречие.
Почему такой шняги не может быть в конечномерном пространстве? Потому что конечномерное вещественное нормированное пространство изоморфно R^n. А в R^n нет незамкнутых линейных подпространств. Поэтому К содержит n линейно независимых векторов. Такое ощущение, что, т.к. К --- выпуклый конус, К содержит шар с центром в точке, равной сумме этих векторов и радиусом, равным половине минимума среди длин этих векторов (проверьте, м.б. ошибаюсь, но кажется подойдет такая точка и такой радиус).

praktik69

спасибо, большое!

antill

пожалуйста :)

praktik69

эхм
еще одна задача:
В пространстве С[0,1] для произвольного натурального n рассмотрим множество функций Fn = {x из C[0,1]: найдется t_0 из [0,1] такой что для любого t из [0,1] |x(t)-x(t_0)|<=n|t-t_0| }
доказать, что Fn нигде не плотно
примечание: доказать, что Fn замкнуто

antill

сорри, мне спать пора :)

praktik69

спокойной ночи

antill

эхм
еще одна задача:
В пространстве С[0,1] для произвольного натурального n рассмотрим множество функций Fn = {x из C[0,1]: найдется t_0 из [0,1] такой что для любого t из [0,1] |x(t)-x(t_0)|<=n|t-t_0| }
доказать, что Fn нигде не плотно
примечание: доказать, что Fn замкнуто
вот набросок доказательства
полагаю, надо использовать тот факт, что существуют непрерывные нигде не дифференцируемые функции. можно такую функцию получить, например, как сумму ряда
h_k/2^k = f(x
где r_k --- катое рациональное число и h_k= 2^k* |Сх - r_k| при r_k - 1/2^(k^2)< x<r_k + 1/2^(k^2 при других х продолжаем константой.
если С больше n, то такую функцию не приблизить функциями из семейства Fn, поэтому ни для какого n множество F_n нигде не плотно, т.к. в любой шар можно всунуть шар с центром --- многочленом g, а в этот второй шар можно сунуть функцию g + f*epsilon.
полагаю, примерно такая идея должна пройти, если в деталях где наврал --- не серчайте, допилите рассуждение до правильного
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: