Решить пример

makei

подскажите, как аналитически решить такую вот штуку: x=sin(w*(sin(w*x 0<w*x<pi
я на идеи иссяк(

griz_a

Ясно же, что тут не всегда решения бывают. Не при всех w.

a101



Не при всех w.
Я бы добавил, что при |w| <= 1 решений нет.
При |w| > 1 решения есть всегда.

Задача в том, чтобы выразить x через w? Или что-то другое? Просто как вычислить зависимость пока с трудом представляю.

makei

да, нужно выразить явно x через параметр w, главное решить само уравнение, доп. условие 0<w*x<pi можно проигнорировать, его гораздо легче можно применить..

a101

Я бы не был так уверен, что выразить x через w так легко. К тому же какое именно x нужно? При больших значениях w даже при ограничении 0 < w * x < pi есть несколько решений (может быть любое количество). В этом случае нужен минимальный (по модулю) x?

makei

знаю, что не легко...(
дело в том, что нужны не сколько сами корни уравнения (их уж можно и численно сосчитать нужен явный вид x, как функции от параметра w.

makei

если даже в виде ряда или интеграла какого-нибудь можно представить решение, было бы тоже здорово!

a101



нужен явный вид x, как функции от параметра w.
Имеется ввиду минимальный по модулю корень?
Для чего он нужен? Нужны его производные по w или что? Можно описать чуть более общую задачу? Возможно это поможет.

Sergey79

Для чего он нужен? Нужны его производные по w или что? Можно описать чуть более общую задачу? Возможно это поможет.
+1, быть может задание зависимости x(w) в виде этого уравнения - самое удобное как раз, и вполне достаточное для практических целей.

makei

нужно это уравнение привести(в идеале) к виду: [X1-f1(w)]*[X2-f2(w)]*...*[Xn-fn(w)]=0 в зависимости от w будет разное число этих скобок, поэтому наверняка где-нить в скобке должен быть или бесконечный ряд или интеграл или что-нить такое специфичное...

a101

К конечному числу скобок оно не приводится. Я уже писал, что при возрастании w растет количество решений и может быть абсолютно любым. То есть можно легко построить w, для которого доказаться, что есть не меньше 1000000 решений.
Бесконечное число множителей устраивает?

makei

у меня вот получилось привести ее к такому вот виду w^3*x*cos^3(wx)+sin(w*x)=0 (на мой взгляд самое простое, чего я смог добиться но не уверен, что от сюда решать будет легче... (

makei

если будет бесконечный ряд из скобок, и в каждой будет явно выражен x, а так же будет понятно как построить скобку с любым номером, то буду очень благодарен!

Hana7725

Умножим уравнение на w и возьмем синус: sin(w*x)=sin(w*sin(w*(sin(w*x. Положив y=sin(w*x получим y=sin(w*(sin(w*y. Если еще 0<w*sin(w*x)<pi, то у будет решением из нужного интервала. В частности, при 1<w<pi для каждого корня x_0 отображение x->sin(w*x) даст еще один, если конечно, x само не равно sin(w*x). Можно еще сказать, что ищутся орбиты периода 2 этого отбражения.

если будет бесконечный ряд из скобок, и в каждой будет явно выражен x, а так же будет понятно как построить скобку с любым номером, то буду очень благодарен!

Совсем не очевидно, что корни как-то обозримо выражаются через w. Можно попробовать начать с единственной неподвижной точки функции x->sin(w*x) на интервале (0,pi/w w>1. Какой здесь явный вид?
Или уж для начала вопрос: как явно выразить количество корней для данного w?

makei

Умножим уравнение на w и возьмем синус: sin(w*x)=sin(w*sin(w*(sin(w*x. Положив y=sin(w*x получим y=sin(w*(sin(w*y. Если еще 0<w*sin(w*x)<pi, то у будет решением из нужного интервала. В частности, при 1<w<pi для каждого корня x_0 отображение x->sin(w*x) даст еще один, если конечно, x само не равно sin(w*x). Можно еще сказать, что ищутся орбиты периода 2 этого отбражения.

ну да, все верно, F(F(x0=x0 - циклы периода 2 этой функции. (Собственно так и ставится задача изначально, правда еще с некоторыми прибабахами...:( ). Нужно только аналитически( найти эти точки.

вот картинка, чтоб наглядней былоб...

NHGKU2

Я только вижу, как w через x выразить, а как обратно — неясно... Кажется, вряд ли получится что-то вменяемое.

makei

мда.. наверно это так... а для какого-нибудь конкретного случая (например для w=3) получится выразить?

z731a

для [math]$w=\pi/2$[/math] получится

Hana7725

Вот первые члены ряда обратной функции к [math]$$w=\frac{\arcsin x}x$$[/math]:
[math]  $$  x=\sqrt{\frac32}\left(2 \sqrt{w-1}-\frac{27}{10} (w-1)^{3/2}+\frac{8721 (w-1)^{5/2}}{2800}-\frac{190773 (w-1)^{7/2}}{56000}+\frac{250532757 (w-1)^{9/2}}{68992000}-\frac{342042974451     (w-1)^{11/2}}{89689600000}+O\leftw-1)^6\right)\right)  $$  [/math]
Уже здесь вряд ли будет хорошая формула - знаменатели регулярны, там что-то вроде факториалов, а числители нет.
ЗЫ Да и то, похоже, ряд сходится при [math]$1\le w<2$[/math], а дальше надо искать другое разложение.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: