Непрерывные функции с рациональными значениями

soldatiki

Возник вопрос: каков класс непрерывных функций, которые в каждой рациональной точке принимают рациональные значения? алгебраические значения? Собственно, интересно, исчерпывается ли этот класс многочленами.

3deus

Собственно, интересно, исчерпывается ли этот класс многочленами.
Конечно нет. Возьмем, например, рациональную функцию f(x) = 1 / (1+x^2).

3deus

Или можно взять непрерывную кусочно-линейную функцию с "вершинами" в рациональных точках (x,y) \in \mathbb{Q}^2. Например, f(x) = |x|.
Вообще же, самый широкий класс таких функций, который приходит на ум, - это непрерывные кусочно-рациональные функции, каждый "кусочек" которых есть рац. функция с рац. коэффициентами.

soldatiki

Ну да, точно. Тогда другой вопрос: исчерпывается ли этот класс локально кусочно рациональными функциями, то есть, такими, что каждая точка имеет одностороннюю окрестность, где наша функция совпадает с рациональной.

3deus

исчерпывается ли этот класс локально кусочно рациональными функциями, то есть, такими, что каждая точка имеет одностороннюю окрестность, где наша функция совпадает с рациональной.
Конечно, нет. Давайте определим функцию сначала справа от 0. Будем идти справа на лево до 0 и строить кусочно-линейную функцию с "вершинами" в точках 1/ n, n = 1, 2, 3, 4 ..., так, чтобы значения нашей функции убывали к нулю. Слева от 0 продолжим функцию по четности.
Тогда в т.0 требуемой Вами окрестности нет.

3deus

Тогда в т.0 требуемой Вами окрестности нет.
Разумеется для функции в общем положении; положим, например, f(1 / n) = 1 / n^2.

soldatiki

Собственно, мысль-то была такая. Во многих функциональных пространствах плотны непрерывные функции, а там в совю очередь можно пытаться найти счетное всюду плотное множество функций, рассматривая значения в рациональных точках и полагая, что эти значения также рациональны (или алгебраические тогда и возник вопрос: какие ограничения возникают на такие непрерывные функции. Интуитивно ясно, что "почти все" непрерывные функции таковыми не являются.

soldatiki

Сейчас обсуждается идея (в том или ином формальном виде что такие функции "почти всюду" задаются "формулой", то есть, совпадают с рациональными. Сейчас разумно предположить, что обсуждаемые функции совпадают с рациональными всюду за исключением нигде неплотного множества. В частности, интересно, есть ли пример такой функции, которая не представляется в виде рациональной ни на каком интервале для всякой точки из некоторого плотного множества. То есть, вышеприведенный пример, но "испорчено" значение не в одном только нуле, а на некотором "большом" множестве.

3deus

Собственно, мысль-то была такая. Во многих функциональных пространствах плотны непрерывные функции, а там в совю очередь можно пытаться найти счетное всюду плотное множество функций, рассматривая значения в рациональных точках и полагая, что эти значения также рациональны (или алгебраические тогда и возник вопрос: какие ограничения возникают на такие непрерывные функции. Интуитивно ясно, что "почти все" непрерывные функции таковыми не являются.
В чем вопрос-то ? Описать непрерывные функции с рацион. знач. в рац. точках ?

3deus

В частности, интересно, есть ли пример такой функции, которая не представляется в виде рациональной ни на каком интервале для всякой точки из некоторого плотного множества.
Напишите понятнее, пожалуйста.

3deus

но "испорчено" значение не в одном только нуле, а на некотором "большом" множестве.
Хотите, чтобы множество точек, для которых не существует односторонней окрестности, в которой функция была бы рациональна, было всюду плотно в области определения функции ?

griz_a

А нельзя так? p_i - i-oe рац. число, f(x) - описанная функция, g(x)=sum{i=1..inf}{f(x-x_i)/2^i)?

3deus

g(x)=sum{i=1..inf}{f(x-x_i)/2^i)?
А почему в рациональных точках g(x) имеет рац. значения ? Ряд-то с бесконечным числом ненулевых слагаемых.

soldatiki

Хотите, чтобы множество точек, для которых не существует односторонней окрестности, в которой функция была бы рациональна, было всюду плотно в области определения функции ?
Именно так.
Точная постановка задачи. Будем говорить, что точка x является точкой первого рода для функции f, если существует окрестность x, где f совпадает с некотрой рациональной функцией. Точки, не являющиеся точками первого рода для f, назовем точками второго рода. Задача: привести пример непреывной функции f, принимающей в рациональных точках рациональные значения и множество точек второго рода у которой а) плотно в некотром интервале б) содержит некоторый интервал.

3deus

Задача: привести пример непреывной функции f, принимающей в рациональных точках рациональные значения и множество точек второго рода у которой а) плотно в некотром интервале б) содержит некоторый интервал.
Не очевидно. Надо подумать.

svetik5623190

А вот такая вот мысль.
Расмотрим функцию Кантора на отрезке. Она непрерывна, и принимает рациональные значения на (всюду плотном) множестве полной меры. То есть для её однозначного определения фактически нужно задать рациональные значения на счётном числе отрезочков, а в точках "канторовой пыли" значения получаются по непрерывности за счётное число шагов.
Может можно как-то использовать подход, основанных на функциях типа Кантора, для решения основной задачи?

svetik5623190

Попробую использовать ибею , только вместо бесконечной суммы использую бесконечную размерность. Это конечно не совсем то, о чём пишет аффтар, но может быть ему для его высоких целей сойдёт и этого
Пусть f отображает отрезок в бесконечномерное пространство со счётным базисом. Точку пространства, все компоненты которой рациональны, будем называть рациональной. Функцию, у которой все компоненты разложения по базису - рациональные функции, будем называть рациональной.
Выше уже была построена непрерывная функция, отображающая отрезок в себя, принимающая в рациональных точках рациональные значения и имеющая точку второго рода. Если у - та самая точка второго рода, то будем обозначать эту функцию s_y(x).
Теперь рассмотрим функцию, разложение которой по счётному базису пространства такое:
f(x) = (s_{y1} (x ...., s_{yi} (x .... где yi - все рациональные точки отрезка.
У каждой точки yi найдётся окрестность, в которой s_{yi} не совпадает ни с какой рациональной, а следовательно и f не совпадает ни с какой рациональной, поэтому все точки yi будут точками второго рода для f. Но поскольку множество точек yi плотно на отрезке, то точками второго рода являются вообще все точки отрезка.
Осталось правильно выбрать топологию в бесконечномерном пространстве, чтобы f(x) была непрерывна. Подозреваю, что такие векторные топологии есть, хотя пример что-то придумать не могу.
Кстати, есть ли критерий того, что "топология бесконечномерного пространства такова, что любая функция, непрерывнаяя покоординатно, непрерывна в совокупности"?
Кстати, вот ещё что придумалось:
Утверждение Множество точек второго рода секвенциально замкнуто.
В самом деле, пусть {у_i} - некотороя последовательность точек второго рода, сходящаяся к точке у. Докажем, что у - тоже точка второго рода. От противного: если она первого рода, то у неё есть окрестность, в которой функция всюду совпадает с некоторой рациональной функцией, но в этой окрестности есть точка y^\star из последовательности {у_i}, поскольку последовательность сходится к точке у. Поскольку точка y^\star - второго рода, то у неё есть окрестность, в которой функция не совпадает ни с какой рациональной. На пересечении этой и исходной окрестности функция не совпадает ни с какой рациональной. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Утверждение годится и для случая, когда не только пространство значений, но и область определения функции - бесконечномерные.

soldatiki

Кстати, есть ли критерий того, что "топология бесконечномерного пространства такова, что любая функция, непрерывнаяя покоординатно, непрерывна в совокупности"?
Хочу тебя огорчить: раздельная непрерывность по координатам вообще не описывается топологией.
Утверждение: на R^2 не существует топологии, такой что непрерывными относительно нее будут в точности функции, непрерывные по каждой координате раздельно. Аналогично для произведения двух топологических пространств с недискретной топологией.
Доказательство сейчас не напишу, поздно уже. Помню, доказывал как-то в том году по пути от метро к ГЗ

soldatiki

Ну, собственно, доказательство-то простое. Так как нам нужно контролировать сходимость по x при фиксированном y, то в базу топологии должны входить множества вида Ux{y}. Аналогично, должны входить множества вида {x}xV, где x берется из X, а y - из Y, а U и V - окрестности в X и Y (наше пространство - это Z = X x Y). Тогда пересечение двух указанных окрестностей - это {x} x {y} = (x, y) - одноточечное множество. Но такое множество уже не содержит внутри себя элемента базы и потому окрестностью не является - противоречие. Кстати, сразу видны ограничения на топологию в X и Y: она не должна быть дискретной ({x} и {y} не должны быть открытыми множествами, иначе противоречие не возникает).

soldatiki

Кстати, надо проверить, покоординатная непрерывность должна задаваться псевдотопологией. Если рассмотреть семейство указанных окрестностей, то они задают (по отдельности) базис некоторого фильтра. Правда, в определении псевдотопологии (пространства со сходимостью) там, кажется, требуется, чтобы пересечение базисов для двух разных фильтров тоже давало базис некотого фильтра. Тут пересечение порождает фильтр точки (x, y), см. предыдущий пост.

svetik5623190

Ну ладно Чем мог - помог

z-helenium

 Множество всех точек первого рода функции на отрезке открыто, =>  а) <=> б).

svetik5623190

Множество всех точек первого рода функции на отрезке открыто
Да, кстати, я придумал более простое доказательство того, что множество точек второго рода замкнуто. Именно замкнуто, а не всего лишь секвенциально замкнуто.
Докажем что его дополнение - множество точек первого рода - открыто. Но это очевидно. Возьмём любую точку 1 рода. У неё есть окрестность А, в которой функция совпадает с рациональной. Возьмём лубую точку из А. Это - точка первого рода, так как есть окрестность этой точки (а именно, А) в которой функция совпадает с рациональной. Таким образом, каждая точка 1 рода входит во множество точек 1 рода с некоторой открытой окрестностью, объединим все эти окрестности и получим открытое множество, совпадающее с множеством точек 1 рода.
ЧТД.
Отсюда кстати вывод: если функция задана на отрезке, то либо её множество точек первого рода пусто, либо имеет меру Лебега, большую нуля. Во втором случае (теорема о структуре открытого множества на прямой) оно представимо в виде дизъюнктного не более чем счётного объединения открытых интервалов.

svetik5623190

Множество всех точек первого рода функции на отрезке открыто, => а) <=> б).
Верно! А я что-то не обратил на это внимание
Для функций, определённых на отрезке,
б => а имеет место в любом случае,
а => б имеет место по доказанному мной выше.

soldatiki

Спасибо, действительно не заметил эквивалентность а) и б). Тогда имеем два случая: множество ТВР имеет непустую внутренность (тогда его мера Лебега положительна) и МТВР нигде не плотно. Во втром случае интерес, думаю, представляет лишь ситуация, когда МТВР имеет положительную лебегову меру или хотя бы континуально. Таким образом, в порядке возрастания "размера" МТВР, получаем:
0) пусто
1) конечно или счетно
2) континуально
3) имеет положительную меру Лебега
4) содержит интервал
Хотелось бы разделить эти случаи примерами.

svetik5623190

МТВР
аббревиатура в стиле военной кафедры. Мне - не нра. Куда математичнее и короче и вообще лучше имхо говорить 2-точка, 2-множество если уж так хочется насокращать.

svetik5623190

0) пусто
1) конечно или счетно
2) континуально
3) имеет положительную меру Лебега
4) содержит интервал
0 - рациональная функция
1 - модуль икс или "пила" из модулей икс, с изломами в точках 1/n и убывающая чтобы обеспечить непрерывность в нуле
Кто пойдёт дальше?

svetik5623190

Кстати если отказаться от непрерывности в рациональных точках, то на помощь приходит функция Римана, равная 0 в иррациональных точках и 1/n в рациональных точках вида несократимой дроби m/n.
Эта функция принимает рациональные значения всюду, имеет в качестве 2-множества всю область определения, непрерывна почти всюду, непрерывна на всюду плотном множестве. Правда она и разрывна на всюду плотном множестве тоже Зато множество точек разрыва счётно

z-helenium

 Континуальное множество можно получить у функции, полученной канторовским процессом на [0, 1] из функции x, где на каждом шагу предыдущая функция изламывается с рациональным смещение по середине каждого отрезка линейности:

kirs

0) пусто
1) конечно или счетно
2) континуально
3) имеет положительную меру Лебега
4) содержит интервал
Сидел на паре, думал-думал и придвинулся ещё на два шага.
2 это Канторова лестница. Канторова пыль в данном случае и будет множеством точек второго рода.
3 это Канторова лестница, построенная на канторовом множестве положительной меры (по прежнему нигде не плотном ).
Более того, я пообщался с Мишей Раскиным, и он мне придумал пример для случая 4. Пример довольно большой, конструктивный, сейчас нет времени писать. Напишу вечером если ничто не помешает.

svetik5623190

Это мой пост выше. Зарегиться забыл.

z-helenium

 Пусть b > a, и g(x) = A1(xa) + B1, f(x) = A2(xa) + B2 --- две возрастающие линейный функции на [a, b], причём 0 < A1 < A2, B1 < B2. Надломом f над g на отрезке [a, b] назовём определённую также на [a, b] кусочно-линейную непрерывную строго возрастающую функцию h(x определяемую так: h(x) = B2 + (xaA1 + A2)/2 при x из [a, (a + b)/2], и h(x) = B2 +(baA1 + A2)/4 + (x — (a + b)/23•A2A1)/2 при x из [(a + b)/2, b]; при этом для любого x из (a, b): g(x) < h(x) < f(x и h(a) = f(a h(b) = f(b); кроме того, как видно из формул, обе линейные половины надлома растут быстрее g, и поэтому в свою очередь также могут быть надломлены над ней на своих отрезках линейности. Наконец, если обе исходные линейные функции обладали свойством R (рациональные значения во всех рациональных точках и отрезок надлома имел рациональные концы, то и надлом будет обладать свойством R.
  Пусть теперь F0(x) := kx и G(x) = sx — две линейные функции на [0, 1], k > s > 0, k и s --- рациональные числа. Построим на [0, 1] последовательность кусочно-линейный непрерывных строго возрастающих функций {Fn(x)}, а именно — в качестве F1 возьмём надлом F0 над G на [0, 1], и положим S1 = {0, 1} — в этих точках F1 совпадает с F0. Далее разделим [0, 1] на два равных отрезках --- [0, 1/2] и [1/2, 1], --- и возьмём в качестве F2 объединение надломов F1 над G на соответствующих отрезках [0, 1/2] и [1/2, 1] (поскольку в концевых точках значение надлома равно значению исходной функции, такое объединение всегда будет непрерывным); положим S2 = S1 U {1/2} --- в этих точках F2 совпадает с F1. С третьего шага алгоритм получения следующей функции в последовательности одинаков: разобьём каждый отрезок линейности F2 на 3 равных части, и в качестве F3 возьмём объединение надломов F2 над G на каждом из полученных отрезков. Такое объединение снова будет кусочно-линейной непрерывной строго возрастающей функцией на [0, 1], лежащей между F2 и G; S3 определим как множество точек [0, 1], в которых F3 совпадает с F2; очевидно, в S3 полностью войдёт S2, как подмножество концевых точек отрезков, на которых F3 определена как надлом над F2, а также войдут все точки вида m/3! — как концы отрезков, равномерно разбивающих отрезки [p/2!, (p + 1)/2!, на которых F3 определена как надлом над F2 (а в концевых точках отрезка при надломе на нём надломленная функция совпадает с исходной).
  Таким образом, все функции последовательности {Fn(x)} кусочно-линейны, непрерывны, превосходят в каждой точке G(x и не превосходят предыдущую функцию последовательности => данная последовательность функций сходится поточечно, => по теореме Дини она сходится равномерно на [0, 1] к некоторой непрерывной функции F(x). Также, как видно из построения, все функции последовательности {Fn(x)} обладают свойством R.
 Заметим теперь, что построенная параллельно последовательность конечных подмножеств [0, 1] {Sn} строго возрастает, а каждый её элемент Sn содержит множество всех точек вид m/n!; из этого, и из определения Sn (множество точек [0, 1], в которых Fn совпадает с Fn-1) следует, что для любой рациональной точки y отрезка [0, 1] последовательность Fn(y) с некоторого момента стабилизируется на некотором рациональном значение => функция F(x) обладает свойством R.
Наконец, выясним, как зависят тангенсы углов наклона обоих линейных частей надлома (С1 и С2) от тангенсов углов наклона исходных функций (A1 и A2). Имеем из определения: С1 = (A1 + A2)/2, С2 = (3•A2A1)/2 => (С2A1) — (С1A1) = (A2A1 и (С2A1) + (С1A1) = 2•(A2A1) => (С2A1) = (3/2)•(A2A1 (С1A1) = (1/2)•(A2A1 то есть при надломе у левой части образованной функции разница наклона с исходной прямой (С1A1) (над которой происходит надлом) всегда уменьшается в два раза, а такая же разница для (С2A1) правой части --- возрастает в полтора раза. Отсюда, и из того, что каждая рациональная точка с некоторого шага является при каждом последующем шаге (m + 1) просто концом отрезка, на котором Fm+1 есть надлом Fm над G, следует, что в каждой рациональной точке из (0, 1] у F нет конечной левой производной => ни на каком интервале F не совпадает ни с какой дробно-рациональной функцией.

soldatiki

мда... респект

svetik5623190

Я извиняюсь за долгое отсутствие в треде. Оказывается, тут уже кое-что написали Тем не менее запощу текст, написанный мной около недели назад. Я не мог отправить его, тк не было сети. В тексте приводится пример, основанный на идее Миши Раскина. Миша набросал мне идею на переменке, сейчас постараюсь всё аккуратно и понятно написать.
Апдейт (написан досле окончания писания поста неделю назад): Что-то уже поздно, я писал этот пост около трёх часов, и уже устал. Проверьте пожалуйста меня, не допустил ли я где-то ошибок.
Итак, будем строить на отрезке [0,1] непрерывную функцию, принимающую в рациональных точках рациональные значения, множество точек второго рода которой есть весь этот отрезок. Функция будет устроена так, что для любого отрезочка с рациональными концами, лежащего в [0,1], не найдётся ни одной рациональной функции, совпадающей с нашей на этом отрезочке. Отсюда моментально следует, что любая точка отрезка [0,1] будет точкой второго рода для нашей функции, поскольку отрезок с рациональными концами можно найти в любой открытой окрестности на отрезке. Кроме того, построенная функция будет строго возрастающей.
Определим сначала функцию на рациональных точках с соблюдением требования строгого возрастания. Поскольку множество рациональных чисел плотно, а вещественных - полно, то потом можно продолжить функцию на весь отрезок: пусть последовательность рац. чисел R_n сходится, монотонно возрастая, к точке х. Тогда положим f(x) = lim f(R_n). Предел существует в силу монотонности и ограниченности последовательности f(R_n). Независимость предела от последовательности, монотонность и непрерывность полученной функции предлагается доказать читателю (упражнение для 1 курса, но видимо довольно муторное).
Теперь самое главное - как определить функцию на рациональных точках? Будем определять индуктивно, по очереди на всех рациональных числах. Укажем порядок "очереди" и способ задания значений функции.
Упорядочение множества рациональных чисел. Рациональных функций - отношений двух многочленов с рациональными коэффициентами - счётное число. Поэтому занумеруем все рац. функции индексом n. Отрезков с рациональными концами тоже счётное число, занумеруем их индексом m. Теперь занумеруем множество пар (m,n) индексом k. По числу k числа m и n восстанавливаются однозначно, а по паре чисел (m,n) однозначно восстанавливается k.
Рациональные числа, кроме 0 и 1, тоже занумеруем индексом k, причём так, чтобы рациональное число с номером k лежало в отрезке под номером m. Если это получаться не будет - переупорядочим отрезки или пары. Главное, чтобы в итоге рациональное число с номером k лежало в отрезке под номером m. Это - отдельная задача. Очевидно, что она имеет решение, но явную процедуру мне придумать пока не удалось, а думать много над этой задачей не могу - есть другие дела. Оставим тоже в качестве упражнения читателю
Способ задания значений функции.
0. Положим f(0)=0, f(1)=1.
1. Рассмотрим рациональное число с номером k=1 и положим значение f на этом числе равным такому рациональному числу, чтобы оно лежало строго между 0 и 1, а так же не совпадало со значением n(1)-й рациональной функции в этой точке. Таких рациональных чисел счётное число, выбирай любое.
......
k. Пусть прошло k-1 шагов, за которые было определено значение в k-1 точках. Рассмотрим точку с номером k и выделим из конечного числа точек, на которых значение уже определено, ближайшую точку L слева и ближайшёю точку R справа к нашей точке с номером k. Теперь положим значение f на нашем k-м числе равным такому рациональному числу, чтобы оно лежало строго между f(L) и f(R а так же не совпадало со значением n(k)-й рациональной функции в этой точке. Таких рациональных чисел счётное число, выбирай любое.
...........
За счётное число шагов мы определим значение на каждом рациональном числе, причём на каждом отрезке с рац. коэффициентами построенная функция не совпадает ни с одной рациональной функцией, потому что по номеру отрезка и рац. функции можно найти номер точки, лежащей на этом отрезке и такой, что на ней наша функция отличается от этой рац. функции.
Таким образом, пример Раскина построен, осталось лишь для полноты изложения:
1. Привести доказательство корректности определения, монотонности и непрерывности функции, являющейся продолжением построенной с рациональных точек отрезка на все.
2. Предъявить нумерацию рациональных чисел двумя счётными индексами такую, чтобы в каждом отрезке с рациональными концами лежало бесконечное число чисел с одинаковым вторым индексом, а вторые индексы были различными для различных отрезков.
Ещё мысли
1. Функция монотонная, и потому почти всюду дифференцируема. Какими свойствами обладает производная? На каком множестве функция не дифференцируема?
2. Отрезок [0,1] и значения на его концах, ясное дело, не принципиальны. Можно брать любой отрезок и любые значения. Можно вместо отрезка взять всю прямую, причём сделать функцию либо неограниченной с любой стороны или о обеих сторон, либо задать конечные пределы, к которым функция должна стремиться при стремлении аргумента к + или - бесконечности. Естественно, первый предел должен быть больше второго. Только придётся немного модифицировать индективную процедуру построения и включить в индуктивную процедуру периодическое расширение отрезка влево и вправо, задавая рост функции в соответствии с нашими желаниями.
3. Хочется пойти дальше и на основании этого примера построить функцию, множеством точек второго рода которой будет являться любое заданное замкнутое подмножество прямой. Проблема в том, что уже не любой отрезок с рациональными концами будет пересекаться с этим замкнутым множеством по бесконечному числу точек. Те точки нашего замкнутого множества, в любой окрестности которых не найдётся бесконечсного числа точек этого же множества, будут нам мешать. Но это - изолированные точки, поэтому их не более счётного числа. Временно выкинем их из нашего множества.
Оставшееся множество замкнуто, т.к. представимо в виде пересечения замкнутых. Построим эти замкнутые. Нулевое - это исходное множество. Первое - исходное множество минус первая изолированная точка. Второе - исходное минус первые две изолированные точки и т.д. Пересекая все эти множества, получим исходное множество без изолированных точек.
Теперь наше множество изолированных точек не имеет. Нужно будет нумеровать рациональные точки этого множества и отрезки с рациональными концами, пересекающиеся с ним, и таким образом задать функцию на оставшемся замкнутом множестве.
Поскльку множество, на котором функция ещё не задана, открыто, то оно представимо в виде дизъюнктного не более чем счётного объединения интервалов. Теперь вспомним о выкинутых изолированных точках. На них функция ещё не определена, и у каждой из них есть окрестность, в которой функция ещё не определена. Но эти точки должны быть точками второго рода, поэтому мы должны сделать в них изломы. Выкинем из указанного выше счётного дизъюнктного объединения интервалов эти изолированны точки и снова получим счётное дизъюнктное объединение интервалов. На этих интервалах продолжим функцию кусочно-рационально с сохранением непрерывности. Если у очередного интервала оказывается "соседний", т.е. разделенный с ним одной точкой, в этой точке нужно сделать излом, чтобы она случайно не стала точкой первого рода. Если же у интервала ни одного соседнего нет, то просто продолжнаем линейно по непрерывности, ведь концы интервала принадлежат множеству, на котором функция уже задана.

svetik5623190

Даже никакой критики.... Печально... Выходит мы с Раскиным головы ломали только для собственного удовольствия - никто и не собирался походу читать

manggol

Даже никакой критики.... Печально... Выходит мы с Раскиным головы ломали только для собственного удовольствия - никто и не собирался походу читать
могу пояснить, почему. ИМХО
1)написанное не является слишком легким чтивом, чтобы бросить взгляд и сразу все понять.
2) чисто научная ценность написанного - нулевая. не сочти за оскорбление.
ну собственно и вот композиция этих двух утверждений - ответ на твой вопрос:)

z-helenium

 Слишком много пробелов в существенных местах.

soldatiki

Даже никакой критики.... Печально...
Вань, ты не обижайся, но я твой текст так и ниасилил. Попробуй быть чуть-чуть локаничнее.

soldatiki

Континуальное множество можно получить у функции, полученной канторовским процессом на [0, 1] из функции x, где на каждом шагу предыдущая функция изламывается с рациональным смещение по середине каждого отрезка линейности
Этот пост и картинка под ним навеяли вопрос: а можно ли что-то сказать о производной такой функции? Например, всегда ли функция, имеющая некоторый интервал в качестве множества точек второго рода, нигде не дифференцируема на этом интервале?

svetik5623190


Вань, ты не обижайся, но я твой текст так и ниасилил. Попробуй быть чуть-чуть локаничнее.
Не могу не обидеться на такое, ты уж извини. Тебе не хочется тратить время на чтение? А как ты думаешь, сколько я его писал? И сколько думал над написанным?..
Попробую тебя заинтересовать... По любому замкнутому подмножеству прямой строится функция. имеющая это подмножество в качестве множества всех точек второго рода. Интересно? тогда читай мой пост
много пробелов в существенных местах
Не собираюсь делать упражнения для 1 курса для людей, которым даже лень прочесть мои посты. Или может быть, в местах, где рассуждения не приведены, всё гораздо сложнее чем упражнение для 1 курса?
А может быть, у Вас даже есть контрпримеры:?

Этот пост и картинка под ним навеяли вопрос: а можно ли что-то сказать о производной такой функции? Например, всегда ли функция, имеющая некоторый интервал в качестве множества точек второго рода, нигде не дифференцируема на этом интервале?
Этот вопрос я тоже поставил в своём посте. В том самом, который ты не читал.

soldatiki

По любому замкнутому подмножеству прямой строится функция. имеющая это подмножество в качестве множества всех точек второго рода.
Мне так это почти очевидно по модулю предыдущих постов и вспоминая устройство открытых множеств на прямой (счетное объединение непересекающихся интервалов) и, соответственно, замкнутых как их дополнений. Для интервала такую функцию, вроде, сказали, как строить. Или с замкунтыми множествами в чем-то подвох?

z-helenium

 Пусть g(x) := x·x при x из [0, 1/4], g(x) := 1/8 — (x — 1/2)·(x — 1/2) при x из (1/4, 3/4], g(x) := (x — 1)·(x — 1) при x из (3/4, 1]; {x} — дробная часть (антье) x.
   Тогда функция g({x}) — гладкая (единожды периодическая с периодом 1, и g({m}) = 0 для любого целого m.
 Рассмотрим функциональный ряд по n от 1 до +∞ со слагаемыми g({nx})/n!)!). Это ряд гладких функций, сходящийся вместе с рядом своих непрерывных производных равномерно на всей вещественной оси, поэтому его сумма есть гладкая функция.
С другой стороны, значение этого ряда при любом рациональном аргументе есть конечная сумма рациональных чисел.

soldatiki

А каково множество точек второго рода? Интересно поведение производной именно на множествах второго рода.

z-helenium

 [math]Пусть построенная сумма $\mathrm{S}(x)$ совпадает с некоторой дробно-рациональной функцией $\mathrm{D}(x)$ на интервале $I$ длины $\epsilon$. Тогда для $n = [1/\epsilon] + 2 \quad \exists$ отрезок $J = [m/n!,\, (m + 1)/n!] \subset I$, и $\mathrm{S}_n(x)$ ($n$-тая частичная сумма исходного ряда) является на $J$ многочленом, а остаток $\mathrm{R}_n(x) := \mathrm{S} - \mathrm{S}_n(x)$ — периодической гладкой функций с периодом $1/(n+1)!\,$; таким образом, на $J$ имеем: $$ \mathrm{D}(x) - \mathrm{S}_n(x) \equiv \mathrm{R}_n(x)$$ $\,$Здесь в левой части — дробно-рациональная функция, а в правой — гладкая периодическая функция, имеющая на $J$ ровно $(n+1)$ период..[/math]
[math]Но это невозможно $\Rightarrow\,\mathrm{S}(x) \in \mathrm{C}^1(\mathbb{R})$, ни на одном отрезке не совпадает с дробно-рациональной функцией, и принимает рациональные значения во всех рациональных точках.[/math]

soldatiki

Огромное спасибо.
P.S. Каким образом был набран текст? Вставлен как картинка или набран средствами форумского движка?

svetik5623190

Крутняк :)

yurimedvedev

P.S. Каким образом был набран текст? Вставлен как картинка или набран средствами форумского движка?
жмешь правой кнопкой на рисунке - свойства, если там есть текст, значит с помощью math, если только ссылка на рисунок, значит зааплоажен
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: