След произведения матриц

meles

Есть ли какие-нибудь теоремы про след произведения матриц?
И вообще был бы признателен за любые теоремы, в которых есть след.

NHGKU2

tr(AB)=tr(BA)

RZ3ARO

А еще вроде сумма следа матрицы не меняется при ортогональных преобразованиях? Или это про сумму квадратов следа?

Xephon

это следствие вышеобозначенного факта

RZ3ARO

Да, пожалуй. Стоило немного подумать.

natunchik

След не меняется при унитарных преобразованиях, т.е. Tr M = Tr( U * M * U^-1 где U - унитарная матрица (сопряженная равна обратной).

Rumata

Условие унитарности излишне, достаточно обратимости U (След - один из коэффициентов хар. многочлена оператора, который инвариантен при замене базиса ).

Xephon

а при ортогональных не меняется след квадратичной формы

meles

Вот что я еще знаю:
1) Tr(A) = сумма собственных значений
2) Tr(aA+bB) = a Tr(A) + b Tr (B)
но надо еще....

yukos1988

Ну простейшие на этом заканчиваются скорее всего
Есть другие, допустим такие:
1. a^т * b = Tr [a * b^т]
2. d/dX Tr [AX] = A^т
3. d/dX Tr [AX^т] = A
4. d/dX Tr [AXBX^т] = A^т*X*B^т + AXB

Rumata

Ну да, квадратичная форма - тензор типа (0,2) (в отличие от оператора - тензора типа (1,1 поэтому ее матрица меняется при замене базиса по закону A-->UAU* (U* - сопряженная к U матрица) и если U*=U^{-1}, то след и впрямь не меняется

Rumata

был бы признателен за любые теоремы, в которых есть след
Ну раз так, то вот теорема:
"Для любого линейного оператора A: R^n --> R^n det(exp(A=exp(tr(A", см например Арнольд, Обыкновенные Дифф. ур-ния, с. 187 (есть в сетке).

NHGKU2

оператора - тензора типа (1,1)

раз уж заговорили о тензорах, то еще такой факт есть (тривиальный, но все же): след матрицы линейного оператора A=(a_i^j) есть его свертка как тензора типа (1,1)

sergeymorozov

А изометричности не достаточно?

Rumata

Ну раз уж речь зашла о тензорах и характеристических многочленах , то вот еще теорема:
"Пусть A: V --> V - линейный оператор, dimV=n. Тогда след его внешней p-й степени равен коэффициенту перед t^{n-p} в характеристическом многочлене f_A(t) оператора A, взятому со знаком (-1)^{n-p}."
Кстати эта теорема показывает что все инварианты оператора могут быть выражены через следы его внешних степеней. В частности, det(A)=tr(A^n)=A^n (здесь "^n" означает n-ю внешнюю степень оператора).

Rumata

Если я правильно Вас понял, то достаточно, но не необходимо.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: