Доказательство теоремы Пифагора Терренса Тао

manggol

Навеяно соседним тредом
Для фраусоболевой и других приверженцев " строгих математических доказательств а не всякой херни". Попались вы друзья крепко. Если сейчас выкрутитесь, назовем коппеерфильдами (c)
Случайно обнаружил эту запись в блоге одного из последних филдсовских медалистов Терренса Тао ( как нельзя кстати). И запись эта - восхищение одним из доказательств теоремы Пифагора. Цитирую, для тех кто знает английский:
My colleague Ricardo Pérez-Marco showed me a very cute proof of Pythagoras’ theorem, which I thought I would share here; it’s not particularly earth-shattering, but it is perhaps the most intuitive proof of the theorem that I have seen yet.
In the above diagram, a, b, c are the lengths BC, CA, and AB of the right-angled triangle ACB, while x and y are the areas of the right-angled triangles ADC and CDB respectively. Thus the whole triangle ACB has area x+y.
Now observe that the right-angled triangles ADC, CDB, and ACB are all similar (because of all the common angles and thus their areas are proportional to the square of their respective hypotenuses. In other words, (x,y,x+y) is proportional to (a^2, b^2, c^2). Pythagoras’ theorem follows.
Теперь внимание хулителям Ильи.
ВНИМАТЕЛЬНО сравниваем с доказательством, представленным Ильей, сравниваем математический талант фраусоболевой и Терренса Тао, засовываем язык глубоко-глубоко в жопу и отныне ВСЕГДА думаем прежде чем что то бездумно критиковать

lenmas

Ну ты это смело произвел вывод.

manggol

ну просто возможность появилась:) Тебе говорят что доказательство нифига не убеждает и вообще лажа, а ты их вместо спора отсылаешь к Теренсу Тао, который доказательством восхищен

lena1978

изящный ход , ловко ты их всех!
Трой МакКлюр тоже в восторге от такого доказательства.

MerKish

Если речь идёт о доказательстве с размерностями, то оно нихрена не строгое и имеет мало общего с доказательством, приведённым тут (кроме того, что это доказательство той же теоремы).

manggol

ну естественно, ведь слово " размерность" не фигурирует и вообще по английски написано(хер поймешь и вообще фраусоболеву я знаю, очень умный чел, а кто такой Теренс Тао - нет

Xephon

Не сотвори себе кумира.

k11122nu

это одно и то же доказательство. Аргумент от авторитета, конечно, слабоват, но доказательство все равно одно и то же. Только самый сомнительный [для вас] момент - про размерности - показался товарищу Тао настолько очевидным, что он даже не счел нужным его оглашать.

manggol

ну, не кумир, на самом деле, просто прикольно получилось - нашла коса на камень если уверенно называешь лажей то, чем восхищен филдсовский лауреат, то это не смелость мышления, согласись?
кстати, если отвлечься от собственно Пифагора - очень интересный блог, рекомендую. Масса интересных вещей и идей.

Xephon

Дай уж ссылку тогда. Я, конечно, могу попробовать сам найти, но я вот даже спора про теорему Пифагора здесь не увидел (так что тоже дай, пожалуйста, ссылку )

manggol

показался товарищу Тао настолько очевидным, что он даже не счел нужным его оглашать.
а также товарищу Тао показалось очевидным что площадь ( о ужас ) не может иметь внезапный разрыв в 10 м (c) ( фраусоболева). Это вообще писец, как он посмел

manggol

http://terrytao.wordpress.com/ - блог Теренса Тао.
а доказательство Ильи - в теме про самую красивую матем. теорему в флокале.стади:)
выкинь из доказательства Ильи слово " размерность" и получишь почти дословный перевод доказательства Тао на русский

Xephon

Вообще мне кажется, что у подход очень строгий (аксиоматический).
А вот у Тао — эмпирический, в стиле древних греков, т.е. он не доказывает очевидные для себя вещи (иначе говоря, у него другая аксиоматика).

MerKish

Разница есть. В этом доказательстве принимается очевидным тот факт, что площадь подобных прямоугольных треугольников пропорциональна квадрату гипотенузы. И по модулю этого допущения решение верное, красивое и хорошее.
А в том решение этот факт очевидным не считается, и предпринимается попытка его как-то обосновать, причём в несколько обобщённой форме. Причём эта самая попытка и вызывает особое восхищение у того, кто приводит то доказательство, хотя она и является не очень удачной, т.к. содержит утверждения менее очевидные, чем доказываемый факт.

Lokomotiv59

Вапще-та в его доказательстве не используется понятие размерности. И даже не подразумевается. Вместо этого используется свойство площадей для подобных фигур. Так что сторонники "физического" доказательства идут лесом.

MerKish

Всё доказательство как раз и было приведено для того, чтобы это соображение размерностей продемострировать.

manggol

выкинь слово "размерность" из доказательства Ильи и получишь дословный перевод

manggol

Вообще мне кажется, что у подход очень строгий (аксиоматический).
А вот у Тао — эмпирический, в стиле древних греков, т.е. он не доказывает очевидные для себя вещи (иначе говоря, у него другая аксиоматика).
задумчиво размышляю.. так кто же из них двоих выглядит убедительнее...

Xephon

выкинь слово "размерность" из доказательства Ильи и получишь дословный перевод
Если взять нормальное доказательство, добавить туда мутоты, то получится в лучшем случаем мутное доказательство.
Ещё вопрос: почему угол — безразмерная величина? Кажется, она замечательно измеряется в радианах и градусах.

manggol

сорри, спать мне уже пора - завтра потрещим ок?:)

griz_a

Теперь по пунктам
а) Я, честно говоря, не рискнул бы утверждать, что доводы
f(x,y)=z, где x - единицы, y - метры, z - метры квадратные, значит f(x,y)=f(x)y^2 и
площади подобных треугольников пропорциональны квадрату гипотенузы - это одно и то же рассуждение
б) Логика у тебя очень странная. Было бы странно, если бы то, что очевидно мне, было бы неочевидно Тао, а наоборот - это как раз логично
в)
the most intuitive proof of the theorem that I have seen yet

Mmose65

Вы уж простите дилетанта. Но по моему мнению, теорема Пифагора не требует доказательства, если где-то сказаны слова 2-мерное евклидово пространство. И не может быть доказана, если этого так и не скажут.

3deus

Замечательное доказательство ! Спасибо, что запостили.
Для не знающих английского: берешь прямоугольный треугольник, опускаешь перпендикуляр на гипотенузу, рассматриваешь получившиеся 3 треугольника, видишь, что они подобные,
след-но, площади их относятся как квадраты соответственных сторон, а именно гипотенуз.
По счастливому стечению обстоятельств, гипотенузы - это стороны объемлющего треугольника. Отсюда сразу следует теорема Пифагора.
P. S. О какой еще размерности вы говорили, доказательство ясно как слеза младенца.

3deus

Всё доказательство как раз и было приведено для того, чтобы это соображение размерностей продемострировать.
Кстати, именно склонные к тщеславию математики часто привносят мутноты в ясные и простые рассуждения.

griz_a

Это что-то странное здесь написано

Mmose65

Евклидово пространство = > выполняетя теорема Пифагора,
выполняется теорема Пифагора => можно ввести структуру евклидова пространства.
Отсюда, ИМХО, все доказательства т. Пифагора эквивалентны "Зри".

griz_a

Никто же не заставляет вводить прямоугольные треугольники через скалярное произведение

Mmose65

Никто же не заставляет вводить прямоугольные треугольники через скалярное произведение

Нет. Ну и что из этого?

3deus

Бурбакистъ ?
Теорема Пифагора больше концетуальных схем (хотя она и относится к области абстрактного, опираясь на абстрактные понятия отрезка, угла, длины отрезка которые Вы пытаетесь насильно к ней привязать.

Nefertyty

Евклидово пространство = > выполняетя теорема Пифагора,
в аксиоматике школьной геометрии следствие неочевидно, поэтому и нужно доказательство
выполняется теорема Пифагора => можно ввести структуру евклидова пространства
а это уже в другой аксиоматике
и в ней нужно доказывать аксиомы евклида

griz_a

Ну и вообще нет никакой структуры евклидового пространства. Можно ее ввести насильно. Но надо будет показывать, что произведение длин на косинус угла даст скалярное произведение и что относительно него прямой угол дает ортогональность, подозреваю, что последнее докажешь через теорему Пифагора

Mmose65

Теорема Пифагора больше концетуальных схем (хотя она и относится к области абстрактного, опираясь на абстрактные понятия отрезка, угла, длины отрезка которые Вы пытаетесь насильно к ней привязать.

В каком это месте я пытаюсь, что-то привязать?
Я, наоборот, хотел сказать, что т. Пифагора в доказательствах не нуждается.

griz_a

Какое скалярное произведение в таком пространстве. Почему ортогональность в нем эквивалентна перпендикулярности

3deus

хотел сказать, что т. Пифагора в доказательствах не нуждается.
Ага, как же.

lena1978

что т. Пифагора в доказательствах не нуждается.
если принять её за аксиому - то да, не нуждается. только будет нуждаться в экспериментальной проверке.

Lokomotiv59

Евклидово пространство = > выполняетя теорема Пифагора,
выполняется теорема Пифагора => можно ввести структуру евклидова пространства.
Отсюда, ИМХО, все доказательства т. Пифагора эквивалентны "Зри".
Тогда будешь доказывать аксиомы геометрии Евклида. В евклидовом двумерном пространстве
В общем, ты не прав, в первую очередь, — с этимологической точки зрения.

Mmose65

Какое скалярное произведение в таком пространстве.

Как в школе. Ты же сам написал. Проивзедение длин на косинус.
Почему ортогональность в нем эквивалентна перпендикулярности
Из соображения, что перпенидукуляр - это кратчайшая до прямой. Разве нет?

yurimedvedev

Ещё вопрос: почему угол — безразмерная величина? Кажется, она замечательно измеряется в радианах и градусах.
радианная мера угла равна отношению длины дуги к радиусу окружности — отношение это величина безразмерная
градусная мера угла равна радианной, умноженной на безразмерное число 360 и поделенной на 2 пи — тоже безразмерная

Lokomotiv59

градусная мера угла равна радианной, умноженной на безразмерное число 360 и поделенной на 2 пи — тоже безразмерная
не убедительно

k11122nu

> Ещё вопрос: почему угол — безразмерная величина? Кажется, она замечательно измеряется в радианах и градусах.
Наверно, потому, что радианы и градусы - это безразмерные единицы измерений? В конце концов, хоть градусы и безразмерны, это не играет никакой роли. Хоть в килограммах мерить. Важно, что угол никак не дает размерность длины.
> Если взять нормальное доказательство, добавить туда мутоты, то получится в лучшем случаем мутное доказательство.
То есть если вынести квадрат длины за скобку, то вопросов у вас нет, а если вынести этот квадрат с пояснением, то доказательство становится мутным?

k11122nu

Для не знающих английского: берешь прямоугольный треугольник, опускаешь перпендикуляр на гипотенузу, рассматриваешь получившиеся 3 треугольника, видишь, что они подобные,след-но, площади их относятся как квадраты соответственных сторон, а именно гипотенуз.По счастливому стечению обстоятельств, гипотенузы - это стороны объемлющего треугольника. Отсюда сразу следует теорема Пифагора.
За твоим "след-но" скрываются размерности. А именно, размерность площади в подобных треугольниках может появиться только из размерности длины, причем, линейный характерный размер необходимо возвести в квадрат.

Lokomotiv59

То есть если вынести квадрат длины за скобку, то вопросов у вас нет, а если вынести этот квадрат с пояснением, то доказательство становится мутным?
Разумеется, пояснение-то мутное как раз. Вместо элементарного подобия приплели какие-то размерности.
Если треугольник назвать квадратом, у кого хочешь возникнут вопросы

yurimedvedev

не убедительно
а по-твоему, какой размерности градусная мера угла?
имеет ли размерность число 360?
2 пи?

Xephon

а по-твоему, какой размерности градусная мера угла?
имеет ли размерность число 360?
2 пи?
По-моему тут физики путают причину со следствием. У них ветер дует из-за того, что деревья качаются. Поясняю. Единицы измерения м и м^2 корректно введены как раз из-за того, что выполнены разные свойства площади (простейшее из них — площадь прямоугольника m на n равна произведению его сторон mn площадей единичного квадрата). Эти свойства физики, наверное, объясняют эмпирически (что, впрочем, разумно). Неразумно запаковывать кучу свойств в некий "физический" объект, использовать его непонятные свойства и потом это выдавать за математическое доказательство. О том, что такой ход суждений может быть присущ физикам и полезен им, я не спорю.
Кстати, известный некоторому кругу лиц отсюда Канель-Белов рассказывал у нас на кружке "скейлинговую" (как вы тут говорите) теорему Герона. Там по-моему всё было гораздо интереснее.

yurimedvedev

я не настолько компетентен, чтобы полностью ответить на твою тираду
у меня есть встречный вопрос — если существуют подобные треугольники, разных размеров, но с одинаковыми углами, разве это не доказательство того, что мера угла не зависит от линейных размеров?

griz_a

Существуют треугольники с одинаковой одной стороной и разной другой. Из этого следует, что у сторон треугольника разные размерности?

griz_a

То есть если вынести квадрат длины за скобку, то вопросов у вас нет, а если вынести этот квадрат с пояснением, то доказательство становится мутным?

Не видишь разницы в рассуждениях?
f(x,y)=z, y - метры, x - углы, z - метры квадратные, значит f(x,y)=f(x)y^2
И f(x)=kx^2, т.к. площади подобных треугольников пропорциональны квадрату гипотенузы.

NHGKU2

В теоретической механике было что-то такое, вроде теорией размерности называлось. Там даже есть какая-то центральная теорема — пи-теорема называется. К сожалению, негде сейчас про это посмотреть Но вроде такие методы реально позволяют решать довольно сложные задачи термеха из соображений размерности, причем на довольно строгом уровне.

yurimedvedev

Существуют треугольники с одинаковой одной стороной и разной другой. Из этого следует, что у сторон треугольника разные размерности?
это был аргумент в мою пользу или контраргумент?
я расцениваю как аргумент...

manggol

Кстати, известный некоторому кругу лиц отсюда Канель-Белов
пример человека, который не забыл слово "олимпиада" сразу после школы, как должно происходить по идее. Вот Максим Концевич - победитель межнара, что не помешало ему отделить мух от котлет и про олимпиады начисто забыть. А некоторые математики вертятся вокруг олимпиад неприлично долго

Xephon

Максим Концевич - победитель межнара

Концевич не участвовал в международной олимпиаде. Учи матчасть.

manggol

ну не суть - в России значит победителем был, суть не меняется

Martika1

Не буду пусто трепаться. Вам простое задание: доказать, что для любых подобных фигур площадь пропорциональна квадрату размера. Разумеется, формулы для площади использоваться не должны (потому что вы их как бы пока не знаете).

Xephon

Вам простое задание: определить понятие площади фигуры на плоскости.

Mafka11

Не буду пусто трепаться. Вам простое задание: доказать, что для любых подобных фигур площадь пропорциональна квадрату размера. Разумеется, формулы для площади использоваться не должны (потому что вы их как бы пока не знаете).
для начала математик определит площадь и выведет нужные формулы

griz_a

Боян. Это выводится из аналогичных формул для прямоугольников, того что подобные фигуры покрываются подобными прямоугольниками и внешней меры Лебега. Нафиг такое счастье

Lokomotiv59

для начала определить хотя бы понятие "плоской фигуры"

Mmose65

Ам как доказывают, что площадь прямоугольника, со сторонами непараллельномы "единичному" или началу координат = равен произведение длин сторон. Просто говорят, что при движениях площадь сохраняется? Тогда возникает вопрос, а что такое движение? И равзе тут не говорят слова, 2-мерное евклидово пространство?

griz_a

Нет, конечно, такой прямоугольник - не стандартная фигура, его засовывают в стандартную и показывают, что мера Лебега равна произведению сторон

Mmose65

А если несложно, можно поподробнее? Ты при этом точно Пифагора не будешь использовать?

griz_a

А я ее могу использовать для правильно ориентированных треугольников, ибо для них уже доказал
Лень думать как там строго будет, тем более, что я не фанат этого доказательства

Mmose65

А я ее могу использовать для правильно ориентированных треугольников, ибо для них уже доказал

не-а. Как ты докажешь, что если прямоугльник разделить диагональю, ты получишь, равновеликие фигуры?
тем более, что я не фанат этого доказательства

В доказательстве, которое в школе (через площадь двух квадратов тот же самый факт используется. (Что площадь нестандартного квадрата = квадрату стороны)

griz_a

Ну при повороте на a, где a=2pi*k/n, допустим, увеличилась, значит у всех прямоугольников повернутых на а больше, переходим к площади через такие прямоугольники, получаем, что у всех, повернутых на 2a больше и т.д, приходим к противоречию.
Иррациональные углы приближаются рациональными, площадь разницы можно зажать между S и ab, опять противоречие

Mmose65

повернутых на 2a больше и т.д, приходим к противоречию.

С чем противоречие? Вы ввели N различных площадей. Из каких соображений "первая" и "последняя" должны совпадать?

griz_a

Берем площадь повернутого прямоугольника в начальной системе. Она равна S>bc
Берем площадь дважды повернутого в повернутой системе. Она равна S>bc, значит найдется стандартная в повернутой системе фигура, содержащаяся в прямоугольнике, площади больше bc, причем площадь в повернутой системе меньше, чем в неповернутой, поскольку все прямоугольники в повернутой приближаются изнутри простыми фигурами в первой большей площади.
Значит площадь дважды повернутого в неповернутой системе > bc

Mmose65

Немножко непонятно.
Вы используете слово площадь, не всегда указывая, какую именно. Ведь мы же имеем дело с двумя площадями. В изначальной системе и в повернутой системе. Давайте обозначать их S_0 и S_1. И прямоугольники будем обозначать: I - повернутый и II - дважды повернутый.
Тогда.
Берем площадь дважды повернутого в повернутой системе. Она равна S>bc

Как эту фразу переиначить? Какую вы тут площадь сравниваете? S_0 (II) > bc, почему? S_1 (II) > bc, почему?

griz_a

Утверждение - S_1(II)=S_0(I) (потому что вложенные фигуры соответствуют друг другу)
Утверждение S_1(||)<=S_0(II) (потому что если рассмотреть вложенную простую фигуру, то ее прямоугольники c S_1<S_0, т.к. S_1=произведению сторон, а S_0 - больше.
Значит S_0(II)>=S_0(I)>bc

k11122nu

Зобавно. То есть для того, чтобы насладиться доказательством теоремы Пифагора, вы готовы выводить "из аналогичных формул для прямоугольников", доказывать, "что подобные фигуры покрываются подобными прямоугольниками", ботать меры (напомню, что этот материал вообще не входит в общие математические курсы многих физмат специальностей. Например, на физфаке меру Лебега в общем порядке не проходят). И при этом отсылка к абсолютно очевидным соображениям, которые, к тому же, строго доказываются в рамках теории размерности (то, что лично вы ее не учили, говорит лишь о том, что не только физфак дает слишком ограниченную программу вам кажется мутным усложнением.

Xephon

То, что площадь при движении сохраняется доказывается очень легко.
При нормальном определении понятия площади.
Для доказательства теоремы Пифагора методом друга Тао же нам нужна площадь не любой фигуры, а фактически только прямоугольного треугольника и прямоугольников.
Точнее, формулы площадей для этих фигур. А в эти простые, известные всем формулы легко поверить даже школьнику. К тому же их можно сравнительно легко доказать на более строгом уровне введения понятия площади.

Xephon

Теорему Пифагора надо доказывать так, как её доказывают в школе.
Приведённое Тао доказательство тоже очень хорошее, и он правильно его хвалит.
Поаккуратней с наездами относительно ограниченности программы на мехмате.
Может она и ограниченная (хотя есть много спецкурсов
но уж расширять её крайне сомнительными теориями физиков о том, как доказывать математические теоремы, вряд ли стоит.

manggol

в общем, насколько я понимаю, то, чем занимаются некоторые господа в этом треде - это и есть бурбакизм : взять очевидную вещь и упорно отстаивать мнение , что она неочевидна, потому что непосредственно от аксиом путь до нее сравнительно долгий.
Например любому нормальному человеку очевидно , что поверхность обычной чайной кружки с ручкой гомеоморфна тору.
Подозреваю, что на это скажут фраусоболева с петкой Как минимум потребуют координатно-заданный гомеоморфизм

griz_a

Не, это я все делаю как раз, чтобы насладиться мутным доказательством
При нормальном доказательстве требуются только прямоугольные треугольники, только ради них этот гемор не нужен

griz_a

То, что вы пытались применить в треде Ильи, не может быть абсолютно строго доказано, просто потому, что без дополнительных допущений неверно. Если вы мне хотите втюхать это доказательство - то добавьте свои допущения.
Доказательство друга Тао мутным мне не кажется, оно мне вполне понятно, потому что те же вещи объясняет нормально (с моей точки зрения). Но мне лично оно не нравится в плане "очевидности", хотя наглядность - налицо.

griz_a

Например любому нормальному человеку очевидно , что поверхность обычной чайной кружки с ручкой гомеоморфна тору.
Подозреваю, что на это скажут фраусоболева с петкой Как минимум потребуют координатно-заданный гомеоморфизм

Задолбал уже приписывать свои нелепые представления другим людям.
Мне очевидно то, в чем я представляю идею сведения к известным мне фактам. Гомеоморфность сферы с ручкой другой сфере с ручкой для меня понятна. Многое же простое - не очевидно, поскольку интуитивная очевидность зачастую содержит использование само этого факта %)
В сущности любое доказательство т. Пифагора мне интуитивно очевидно, поскольку такова сама теорема Пифагора.

Xephon

В сущности любое доказательство т. Пифагора мне интуитивно очевидно, поскольку такова сама теорема Пифагора.

Нуууу, не такая уж и очевидная эта теорема. Хотя если считать очевидным уже известное... Но тогда и Б. теорема Ферма тебе очевидна?!
Думаю, ты не видел извращённых доказательств т.Пифагора. Но и я тоже не видел. Может быть они появятся в этом треде?

griz_a

Не, я имею ввиду, что сама теорема Пифагора кажется совсем очевидной и многие основанные на ней факты тоже очевидны (интуитивно поэтому и доказательства кажутся очевидными, если они не совсем извратные. С б. т. ф. все не так

Mmose65

Сорри, но я не к тому начал прикапываться. Как Вы вводите понятие поворота? И почему поворот сохраняет расстояния?

Mmose65

То, что площадь при движении сохраняется доказывается очень легко.

Насколько я понимаю, если введено понятия движение, то пространство должно быть наделенно скалярным произведением, разве нет?

griz_a

А вот этот вопрос идет в книжку, всю теорию я тут выписывать не собираюсь. Скажу только, что никакой евклидовости это не требует.

Mmose65

Скажу только, что никакой евклидовости это не требует.

Это точно? А там случайно никакая другая геометрия не получится?

iri3955

Ты правда считаешь, что док-ва одинаковы?
Даже после того, как тебе явно ткнули, где они расходятся?
Тогда сомневаюсь, что тебя можно будет переубедить как по этому вопросу, так и по поводу олимпиад.
ЗЫ. Те, кто видят разницу (а это, как минимум, весь ММ, я полагаю думаю, не проникнутся данным опуском ФрауСоболевы, а, пожалуй, наоборот.
В любом случае, зачем ты это запостил сюда, ведь главная цель данного поста, мягко говоря, не подходит к тематике раздела?

k11122nu

> Поаккуратней с наездами относительно ограниченности программы на мехмате.
Если программа чего-то не включает, значит, она ограничена, как бы мало тебе это слово ни нравилось. Никакого наезда тут нет.
> но уж расширять её крайне сомнительными теориями
Ты всегда так высказывешься об абсолютно незнакомых тебе теориях?
> расширять её теориями физиков
Тебя не смущает, что математика в свое время расширилась матанализом, анмехом, матстатом и другими теориями физиков?
> о том, как доказывать математические теоремы
очень спорный момент
Короче, я понял. Ты ни разу не слышал об анализе размерностей, ты этим гордишься и считаешь физиков (то, что этим занимаются физики, ты придумал сам, потому что тебе неприятно было бы думать, что этот незнакомый тебе раздел относится к математике) дураками именно потому, что они занимаются тем, с чем тебе не приходилось сталкиваться. Отличная научная методология, удачи.

Xephon

Если программа чего-то не включает, значит, она ограничена, как бы мало тебе это слово ни нравилось.

В этом понимании любая программа будет ограничена чем-либо.
Ты всегда так высказывешься об абсолютно незнакомых тебе теориях?

Тут уже нас попытались в треде ознакомить. И теорию описали, и приложения в виде теоремы Пифагора. Я не исключаю, что эта теория имеет смысл. Только в треде она была изложено неграмотно и не к месту (см. претензии ). И я действительно считаю, что математические теоремы с помощью таких соображений можно лишь "нащупать", а хоть сколько-то строгим доказательством тут и не пахнет. В статье статье на Вики об этой "теории" сказано, что она используется в физике, технике, доставке грузов, экономике, сделках с акциями. Это вещи практические, где строгие доказательства не нужны, а нужен результат, который будет более-менее верен.
Прошу предъявить ссылку на то, что этой "теорией" занимаются математики. Если это нормальные математики или механики, то со строгими обоснованиями там всё будет в порядке, я уверен. И ещё раз повторю: доказательства "на размерных пальцах" могут быть нужны только физикам, да и то тем, которые не могут отличить методологически правильные доказательства от трёпа по теме.

k11122nu

> Прошу предъявить ссылку на то, что этой "теорией" занимаются математики.
Я сам этой теорией не занимаюсь, поэтому затрудняюсь как с ссылками, так и с обоснованиями. Пишут, что есть известная работа Хантлера или кого-то в этом роде, но я ее не нашел. Корни, вроде, восходят к академику Морозову, которого я тоже не читал и даже не знаю, в какой области науки он стал академиком. То ли физика, то ли математика, то ли техника.
> Если это нормальные математики или механики, то со строгими обоснованиями там всё будет в порядке, я уверен.
Полагаю, такие обоснования есть. Если найду хорошее пособие по теме, напишу. И наоборот: буду рад, если кто-нибудь даст почитать учебник по этому методу с математически корректным обоснованием. Самому интересно.
> доказательства "на размерных пальцах" могут быть нужны только физикам, да и то тем, которые не могут отличить методологически правильные доказательства от трёпа по теме
скейлинговыми доказательствами занимался, в том числе, тов. де Жен - нобелевский лауреат и общепризнанно один из крупнейших современных физиков-теоретиков (он умер в этом году). Так как любому физику сущность размерности очевидна, в его книгах нет обоснований с такого глубокого уровня, но я уверен, что где-то подобные обоснования есть. В конце концов, метод довольно стар (в некотороых чертах он вошел даже в школьную программу по математике) и очень уважаем физиками (особенно, теоретиками-твердотельщиками так что не мог он избежать математической проверки.
> В этом понимании любая программа будет ограничена чем-либо.
Конечно. Физфак, например, плохо дает матстат и обходится без Жордановых форм. И далеко не на всех кафедрах систематически проходится теория групп - даже среди тех, чья специальность требует их изучения. Это не обязательно недостаток факультета (ну что поделаешь, если не хватает времени но объективный факт. Программа ограничена. И не только математическая, но и физическая. Безусловно, это касается программы любого вуза.

griz_a

Вы хоть метод-то сформулируйте, куда вам его обосновывать

k11122nu

метод уже сформулирован. Что вам мешает с ним ознакомиться? В общих чертах, он основан на том, что параметры задач (в том числе, математических задач, приближенных к объективной реальности - например, геометрических) обладают некоторой размерностью, причем, одни размерности могут давать другие лишь по определенным правилам. Скажем, если все параметры безразмерны, размерных параметров получить невозможно. На основании этого можно ограничивать возможные решения (в смысле, то, что мы подозреваем на принадлежность решениям) некоторыми классами. Например, мы сразу можем сказать, что площадь подобных фигур и вообще любая заданная площадь (скажем, поверхности) любых подобных тел (разумеется, если площадь для них вообще существует) пропорциональна квадрату характерного линейного размера, любой объем - кубу линейного размера.
Или простой школьный пример: если при разложении скобки (ax + by + cz + dw)*(px + qy + 36z - 2*pi*w) и приведении подобных мы получим слагаемое abx или 13w, значит, мы ошиблись.
Если в левой части равенства x стоит только слагаемым при единице, а y всегда имеет множителем z или делителем w, значит, в ответе x не может фигурировать в сумме с z или y.
Подчеркну: я излагаю лишь идею и простейшие примеры применения метода скейлинга. Подробно процедура изложена в соотвествующих книгах. Разумеется, метод успешно используется в весьма изощренных задачах. Есть ли математически строгое обоснование - не знаю, но верю, что есть.

griz_a

К черту идею. Вы пользуетесь методом, причем с сильными условиями ограничительными, так гоните метод али его частный случай в студию, что языком-то воздух сотрясать

k11122nu

Я за репетиторство беру деньги. Ты легко мог бы найти нужную литературу и прочитать ее, но предпочитаешь унижать метод, с которым не знаком. Могу помочь с поиском учебников:
elib.hackers, "размерностей"
- и ссылки, упомянутые в этой литературе (включая упомянутые во введении)
elib.hackers, "скейлинг"
де Жен, "Идеи скейлинга в физике полимеров" - здесь нет обоснований, зато подробно показаны и разжеваны методы применения теории анализа размерностей в частном случае полимерных цепочек
Гугль, скейлинг, размерность
Гугль, метод скейлинга
Гугль, скейлинг -гигиена
И пожалуйста, пока не ознакомишься, не употребляй слова "очень сомнительные теории физиков", "куда вам обосновывать, вы хотя бы сформулируйте" и тому подобные. Такое сочетание игноранции со снобизмом вас не красит.

griz_a

Для самых трудных, ака Егор:
Если вы даже не можете сформулировать факт, на который ссылаетесь, хотя бы как следствие из основного, то как можно что-то доказывать.
И фразы "куда вам обосновывать, вы хотя бы сформулируйте" касаются не физиков, а вас с черезом и ильей, вы ссылаетесь на факт, не способные его сформулировать.
Я за репетиторство беру деньги.
Ну и о каких доказательствах ты можешь говорить при таком подходе?

k11122nu

Саня, ты прочитал предложенные книги? О чем дальше можно говорить, если ты отказываешься знакомиться с охаянной тобой методикой, несмотря на обилие пособий?

griz_a

елиб не пашет, кирянет тоже
Честно говоря, не вижу никаких причин, почему ты не можешь найти формулировку и выложить ее сюда хоть в каком-нибудь виде.
Теорию саму я не хаял, заметь, только ваше ее использование без всяких оговорок. Я подозреваю, что вы втроем слышали звон, но где он не знаете и с легкостью применяете теорию, не знаю ограничений ее применения

Lokomotiv59

Саня, ты прочитал предложенные книги? О чем дальше можно говорить, если ты отказываешься знакомиться с охаянной тобой методикой, несмотря на обилие пособий?
Предлагаешь прочитать кучу книг, чтоб доказать теорему Пифагора?
Во-первых, твои ссылки на гугл — полный треш (сам-то ходил по ним?).
Во-вторых, осел щас не пашет практически.
+1 за формулировку утверждения в форуме. Чем дольше отпираешься, тем большее
складывается ощущение, что у тебя нет ничо существенного.
Сойдет вариант википедии или где-нибудь еще, но в конспективном виде.
А вообще, отсылка к куче книг — проявление неуважения к собеседнику и его времени.

k11122nu

размерные величины объективны, но их численное выражение зависит от единицы измерения. Поэтому все функции, связывающие величины, должны быть такими, чтобы при изменении единицы измерения происходили соответствующие изменения в величинах. Например.
Площадь:
S = f(x, α) - например, площадь выражается в кв.метрах, длина - в метрах.
Перейдем к другой единице измерения. Например, от метров к сантиметрам.
Численное выражение длины становится не x, а kx (k = 100 в данном случае).
Площадь в численном выражении, очевидно, становится равной k² * S.
k² * f(x, α) = f(kx, α)
если отлечься от того, что величина у нас x, а k всего лишь отношение единиц измерения, и чисто формально (что для математиков привычно ) представить наоборот, а именно, подобрать такое k, чтобы kx = 1, то получим:
f(1, α) = f(x, α) / x²
Т.е. f(x, α) = φ(α) * x²
Здесь под x, повторюсь, понимался линейный размер задачи (например, гипотенуза подобных треугольников а под α - безразмерный параметр (например, угол треугольников). Если эти α для разных систем равны (например, в подобных треугольниках углы, конечно, равны то
f(x, α) \prop x²
Имхо весьма строго.

iri3955

Ага, строго Но занимает столько же, сколько остальное доказательство...
А вот в доказательстве Terence Tao этот факт вообще не используется. Поэтому приведённое выше доказателство таковым является...
А что данная теория говорит (и, главное, как объясняет существование) об объектах дробной размерности?

iri3955

А вообще, k² * f(x, α) = f(kx, α) - определение размерности, так что получается масло масляное (если уж совсем строго)

k11122nu

> А вообще, k² * f(x, α) = f(kx, α) - определение размерности
кто-то выше писал, что размерность вообще не определяется математически Ну да, это и есть определение. Поэтому любому физику формулировка доказательства от Ильи кажется самоочевидной, мы ведь привыкли работать с размерностями, как вы с тригонометрическими формулами или даже с таблицей умножения. Ты ведь сразу веришь, что sin2x = 2sinx*cosx, хотя доказательство этого факта занимает несколько строчек.
> Ага, строго Но занимает столько же, сколько остальное доказательство...
два действия - это много? особенно, если учесть, что они дают очевидный и интуитивно понятный и привычный всем факт
> А вот в доказательстве Terence Tao этот факт вообще не используется.
Там используется утверждение, что площади подобных фигур пропорциональны квадрату размера. Я показал это из соображений размерности. В противном случае, пришлось бы опираться, как писал кто-то выше, на свойства прямоугольников, меры Лебега и чего-то еще. (на самом деле, конечно, мое доказательство тоже неявно опирается на очевидное, но требующее отдельного доказательства утверждение, что с дробными и, особенно, с иррациональным k дело обстоит так же, как с целыми).
> А что данная теория говорит (и, главное, как объясняет существование) об объектах дробной размерности?
затрудняюсь ответить. Только это не значит, что теория ничего не говорит о них. Это значит лишь то, что я мнения теории по данному вопросу не знаю, а самому думать сейчас лень, я интересную книжку читаю и в форум отвлекаюсь лишь помаленьку.

iri3955

Размерность определяется именно так, но асимптотически. Формально применять её нельзя, это просто интересная игрушка...
Два действия - это много, в два действия можно доказать, непример, теораму Пифагора.
> Там используется утверждение, что площади подобных фигур пропорциональны квадрату размера.
Вот это: k² * f(x, α) = f(kx, α). И доказывать зависимость f(x, a) = x^2 g(a) не нужно, ибо там чётко выделено, что тругольники подобные и величина a во всех трёх случаях одинакова... А всё написанное выше - избыточный материал, к тому же не тривиальный, к тому же не доказанный (формально).

griz_a

А где в твоем доказательстве обламывается f(x,a)=x^2 I_{x>10 метров}?
А ну да, очевидно, функция f сама может тоже погнуться при переходе из м в см. Переформулировать придется

manggol

А где в твоем доказательстве обламывается f(x,a)=x^2 I_{x>10 метров}?
а об этом просто не стоит задумываться. потому что предположение о разрыве нелепо. Доказательство для тех, кто не задает таких тупых вопросов как в том анекдоте про сигаретные окурки

Xephon

Легко говорить, что нелепо предположение отрицания верного факта.
Также легко говорить, что факт-де мне очевиден (я очень умный, а вы - дураки).
Но тогда и доказывать, собственно, может быть, ничего не надо?

Mmose65

А вообще, отсылка к куче книг — проявление неуважения к собеседнику и его времени

У рыльце тоже в пушку, аж в этом треде. Что-то на него никто по этому поводу не накидывается.
Предлагаешь прочитать кучу книг, чтоб доказать теорему Пифагора?

У Вас есть хотя бы конспективное доказательство без дыр? Или тоже в книжки пошлете?

Lokomotiv59

См. первый пост. Если ты считаешь дырой принятие за очевидное того факта, что площадь подобных прямоугольных треугольников пропорциональна квадрату гипотенузы — то придется все же книжки почитать, поскольку строгое доказательство этого интуитивного факта довольно длинное (через покрытия стандартными фигурами а главное — общеизвестно, чего нельзя сказать про теорию размерностей. Тем не менее, формулировки основных теорем и определений я могу привести.

Mmose65

Если Вы не осилили тред, то вопрос на самом деле сводится к следущему. Что такое подобные фигуры? В принципе даже, что такое конгруэнтные (совпадающие при наложении). Остается определить, что такое наложения,то есть движения. Тут меня уверили, что для ввода движения еквидовости не требуется. У меня другое мнения. Потому что разные группы движений определяют разные геометрии.

Lokomotiv59

Для ввода движения евклидовости не требуется. Движение можно задавать в фиксированной системе координат ортогональными матрицами + параллельный перенос.

Mmose65

Почему тогда поворот сохраняет расстояния?

Lokomotiv59

а что такое расстояние ?
если корень из суммы квадратов смещений по осям, то проверяется вычислениями.
А вообще может ты и прав. Скорее всего действительно понадобится евклидовость
Только какое отношение это все имеет к обсуждаемому вопросу про теорию размерностей ?
Да теорема Пифагора не может быть доказана строго (если в исходной аксиоматике не предполагать
утверждения эквивалентного ей самой ну и что ?

Lokomotiv59

Речь ведь идет не о наведении абсолютной строгости, а скорее о том, чтобы не
доказывать очевидное утверждение (про отношение площадей) с привлечением менее
очевидных идей (про размерности).

Mmose65

Вообще, я просто встрял тут в этот разговор, с подозрением, что т. Пифагора - это не теорема, а аксиома скорее . Соответсенно, все ее "доказательства" одинаковы хороши и плохи, потому что эквивалентны самому известному "Зри".

Lokomotiv59

Ну вот все и разрешилось
А вообще я не сторонник обратной математики, хотя направление прикольное, да. Даже как-то делал доклад про него.

Lokomotiv59

Соответсенно, все ее "доказательства" одинаковы хороши и плохи, потому что эквивалентны самому известному "Зри".
Это только если рассматривать доказательство, как цепочку формул, каждая из которых получена по правилу вывода, либо аксиома теории. Для меня доказательство — нечто другое (большее).
Простой пример: если доказательство содержит "лишний" круг вида (как в случае с привлечением теории размерностей):
a --> b --> c --> ... --> a,
где формулы b, c, ... не используются далее, то это уже мозгоимение
Тем более, при расширении исходного множества аксиом.

griz_a

Если Вы не осилили тред, то вопрос на самом деле сводится к следущему. Что такое подобные фигуры? В принципе даже, что такое конгруэнтные (совпадающие при наложении). Остается определить, что такое наложения,то есть движения. Тут меня уверили, что для ввода движения еквидовости не требуется. У меня другое мнения. Потому что разные группы движений определяют разные геометрии.

Можешь определить, что такое подобные прямоугольники без ввода движений?
Можешь определить подобные стандартные фигуры одной системе?
Можешь определить подобные стандартные фигуры в разных?
Я, честно говоря, думал, что для введения геометрии простейшей скалярное произведение не нужно. Но может я и ошибся.

Mmose65

Можешь определить, что такое подобные прямоугольники без ввода движений?
Вот в том-то и дело, что без движений это хз, как определить. Скалярное произведение, как раз и нужно для этого.
введения геометрии простейшей скалярное произведение

Теорема Пифагора уже не простейшая.

griz_a

Привет! Отношения сторон равны!

Mmose65

Как Вы длину стороны "померяете " у нестандартного прямоугольника? Точнее, пусть у нас норма введена. Что они "в какой-то мере" согласованы, это откуда следует?
Тогда, возвращаемя в Ваши рассуждения для площадей. Когда было S_0 и S_1. Там был такой момент, что разбиения в простейшие перейдут в простейшие для второго. Это тогда надо доказывать будет.

griz_a

Метрика-то есть, в чем проблема?

griz_a

Не надо. Для измеримых подобных фигур я подобие ввожу через подобие стандартных фигур приближающей площади.
Надо доказывать, что повороты циклические

Mmose65

Вроде, я давно об этом спршивал. Почему поворот сохраняет метрику.

griz_a

Ну ты же понимаешь, что до аксиом я все не докажу. Поэтому мне продолжит казаться, что теорема пифагора не требует введение скалярного произведения, а тебе - что требует

Mmose65

Если Вы возьмете другую метрику, то в ней т. Пифагора неверна же. А если она верна в любой метрике, то можно ввести скалярное произведение, что вроде как невсегда возможно.

ereyzer

ну да, я видел такое доказательство теоремы Пифагора в "Кванте" за какой-то 197* год. Один в один.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: