Нормальное распределение для больших x

prohor12

Есть какое-то общепринятое (другое) распределение для аппроксимации нормального распределение (плотности вероятности) для больших x ?

griz_a

Плотность зачем аппроксимировать чем-то еще, она и так хорошая :confused:
А ф.р. ведет себя как
[math]  $$1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma (x-\mu)} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$  [/math]
на бесконечности

prohor12

Да, вопрос не совсем релевантен ... просто думал как найти ответ вот на этот, более правильно поставленный вопрос, который сформулировал тут (уже позже) -
http://math.stackexchange.com/questions/1476791/find-the-lim...

griz_a

Вопрос на stackexchange сформулирован внутренне противоречиво, ты путаешь ф.р., плотность и вероятность, хочешь плотность, говоришь, что тебе нужна вероятность, что величины равны чему-то (которая 0, естественно а называешь соответствующую меру функцией распределения. Естественно, что отвечать на эту кучу малу никто не горит желанием.
Если тебе все-таки нужен исходный вопрос - найти предел такой суммы, то ответ, если не обсчитался, [math]$2^{-3/2} \mu^{-1}$ [/math]
Это можно понять, разбивая сумму на две части:
[math]$I: N-k<N^{3/5},\ II: N-k\ge N^{3/5}.$[/math]
Тогда по фрагменту II сумма окажется маленькой, т.к. все слагаемые не больше e^{-dN^{1/5}}, а их меньше N штук.
А на части I можно заменить сумму на
[math]$ \sum_{i = 0}^{N^{3/5}} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi N}} \exp(-i^2 \mu^2/(2N\sigma^2.$ [/math]
Это я в двух местах k на N заменил. Почему это не опасно? Потому что в одном случае это множитель, при замене k на N я вношу в каждое слагаемое погрешность (1+o(1 где o(1) равномерно мало по k. В положительных суммах это допустимо.
Во втором же случае я изменил величину в экспоненте не более чем на
[math]$\frac{(N-k)^3\mu^2}{2N k\sigma^2}, $[/math]
т.е. не более чем на [math]$\frac{N^{9/5}\mu^2}{N^2 \sigma^2}, $[/math] т.е. тоже домножил каждое слагаемое на (1+o(1 где o(1) равномерно мало.
Итак, мы поняли, что достаточно посчитать сумму
[math]$ \sum_{i = 0}^{N^{3/5}} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi N}} \exp(-i^2 \mu^2/(2N\sigma^2.$ [/math]
Но она интегральная сумма для
[math]$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp(\frac{-x^2\mu^2}{2\sigma^2})dx$[/math]

prohor12

Спасибо.
PS: я там на stackexchange корректирую потихоньку ошибки в формулировке, даже в основной первой формуле.
Да, моя проблема - пока что даже четко сформулировать не могу, но всё равно, то что ты написал для плохо мной сформулированного вопроса - очень полезно будет.
Согласен что там полная путаница с понятиями. Я добавил к первой формуле всё остальное в форме потока мыслей, потому что там в первом подкомментарии попросили изложить хоть какие-то идеи, прежде чем они будут смотреть вопрос, вот и получилось что получилось)

griz_a

:cn:
На опечатки-то можно было проверить же? :(
А потом окажется, что вообще речь о сумме самих случайных величин, а не их плотностей шла. Это все же довольно искусственная штука.
В новой формулировке разница не очень большая, только теперь все распадется на случаи:
1) [math]$\mu\le 1$[/math]
Тогда все слагаемые экспоненциально малы по N и сумма идет к 0.
2) [math]$\mu = 1$[/math].
Тогда то же, что и в прошлый раз
3) [math]$\mu >1$[/math]
Тогда пилить придется на три куска:
[math]$[0,N/\mu - N^{3/5}],\ [N/\mu - N^{3/5}, N/\mu + N^{3/5}],\ [N/\mu + N^{3/5}, N].$[/math]
Первый и третий маленькие из тех соображений, второй сводится к интегралу
[math]$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-x^2 \mu^3/(2\sigma^2)} dx $[/math]
Вроде от этого ответ просто вдвое увеличится по сравнению с прошлым.

prohor12

извиняюсь за тупой вопрос....как эти интервалы получаются?
из соображений что те средние от которых мы считаем плотности должны находится не дальше от N чем 3 или 5 сигма?
никак не могу понять откуда степени 1/6
на всякий случай зафиксирую тут то о чём мы говорим, а то там правка...

и второй, тоже чувствую тупой вопрос - ... как осуществляется переход от конечной суммы к интегралу от - до + бесконечности?

griz_a

Ой, 1\6 это был какой-то необъяснимый баг. Должно быть 3\5.
Интервалы я выбрал удобные для оценивания.
На самом деле бывают те слагаемые, где [math]$N/mu-k$[/math] порядка корня из n, тогда в экспоненте какое-то число стоит, и те, где [math]$N/mu-k$[/math] больше чем корень из n, тогда в экспоненте стоит что-то очень маленькое и соответствующая часть суммы незначительная.
Но оценивать удобнее разбивая так, как я говорю, при этом часть незначимых слагаемых попадает в основную часть суммы, но и дают они там нулевой вклад.
А про переход к интегралу идет стандартно. Я рассматриваю разбиение прямой (а вернее не всей прямой, а ее части [math]$-n^{1/10},n^{1/10}$[/math] на отрезки длины [math]$n^{-1/2}$[/math]. Суммирую по всем отрезкам длину интервала на значение функции в отмеченной точке. В пределе получаю интеграл по прямой.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: