Уравнение в целых числах

Komandor

Найти натуральные, минимальные, не равные друг другу, a и b, такие что выполнено равенство:
a^2 - ab + b^2 = c^2,
где c - тоже натуральное число (неизвестное).
Предложить как-можно наиболее простой способ решения.
ps: Ответ я знаю.

juliya21

Что лучше a=1 и b=6, или a=2 и b=3?

Komandor

Эти пары не верны.
Они не дают натурального c!

griz_a

a,b a,c и b,c - взаимнопростые, иначе если два имеют общий делитель >1, то и третье имеет, можно на него сократить.
Для определенности a>b
a(a-b)=(c-bc+b)
a=pq
(a-b)=rs
p,q,r,s - натуральные, p и q попарно взаимнопросты с r и с s
c-b=pr
c+b=qs
b=pq-rs
2b=qs-pr
2(pq-rs)=qs-pr
p(2q+r)=s(2r+q)
p,s - взаимно просты
2q+r и 2r+q имеют НОД 3 или 1
а) 2q+r=s
2r+q=p
a=2rq+q^2
b=2rq+q^2-2rq-r^2=q^2-r^2
a>=8
b>=3
8,3 подходят
б) 2q+r=3s
2r+q=3p
a=(2r+q)q/3
b=(2r+q)q/3-r*(2q+r)/3=(q^2-r^2)/3
3|(q-r)
r>=1
q>=4
a>=8
b>=5

griz_a

Итого 8 и 3

Komandor

Ok, правильно. Спасибо!

griz_a

Я, наверное, не очень просто решил, поскольку я классифицировал все решения с точностью до умножения на константу, а не просто нашел минимальное....

Komandor

Да ладно, пойдет.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: