Задачка по комплану

Marina32

f - голоморфна в C; f(R) \in R; f(C\R) \in (C\R);
Док-ть, что f=cz, с - вещ.

margo11

а че cz + a не подходит для вещественного a?

NHGKU2

f(z) = cz + a ответ будет, на самом деле, правильно говорит.
Доказательство такое придумал.
Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y тогда u, v - гармонические во всей плоскости функции (v гармонически сопряжена с u).
Так как f(R) = R, f(C\R) = C\R, то v(x,0) = 0, v(x,y) ≠ 0 при y ≠ 0.
Покажем, что из этих условий следует, что v(x,y) = cy. Найдём градиент v(x,y) на вещественной прямой y=0:
(∂v(x,y)/∂x)|_{y=0} = ∂v(x,0)/∂x = 0, так как v(x,0) = 0.
(∂v(x,y)/∂y)|_{y=0} = C(x dC(x)/dx = ∂/∂x(∂v(x,y)/∂y|_{y=0}) = ∂²v/∂x∂y|_{y=0} = ∂/∂y(∂v(x,y)/∂x|_{y=0}) = ∂/∂y(∂v(x,0)/∂x) = 0, снова так как v(x,0) = 0. Значит, C(x) = const.
Отсюда grad(v) = ic на прямой y=0. Такой же градиент на этой прямой имеет функция v'(x,y) = cy (c - вещественная константа). По одной из теорем единственности для гармонических функций (а именно, если градиенты двух гарм. функций совпадают на множестве, имеющем предельную точку, то они отличаются на константу) имеем v(x,y) = cy + d. Но так как v(x,0) = 0, то d = 0.
Итак, мы доказали, что v(x,y) = cy. Теперь легко найти гармоническую функцию u, к которой сопряжена v: u(x,y) = cx + a (где а - вещественная константа).
В результате имеем: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = cx + a + icy = c(x+iy) + a = cz + a, что и требовалось.

Marina32

блин, и правда, подходит...
а задача сформулирована как "доказать"

NHGKU2

У меня такое чувство, что я нагнал.
Не использовал то, что v(x,y) ≠ 0 при y ≠ 0, а это существенно. Пытался исправить, не получилось что-то... В общем, пришёл к следующему: надо доказать, что при каждом фиксированном x v(x,y) - линейная функция от y. Доказать это пока не удалось...

Alexx13

f целая функция. Если в \inf устранимая особенность, то f константа, если там - полюс, то f - многочлен (теорема из комплана причём, в данном случае, многочлен с вещественными коэффициентами. М.б., это как-нить поможет?

Alexx13

Возьмём f(z)=e^z. f(R)\in R, f(C\R) \in (C\R f целая ф-ия (с существенной особенностью в беск-ти). Т.е., утверждение неверно - экспонента удовлетворяет условиям и не есть многочлен.

lenmas

e^{i\pi}=-1\in\mathbb R. Скорее всего задача на принцип симметрии --- тогда получается, что \overline{f(\overline z)}=f(z отсюда f(z)=\sum c_nz^n, где все c_n вещественны. Осталось показать, что все c_n с n>1 равны нулю. Хотя то, что все c_n действительны, было очевидно с самого начала по формулам для коэффициентов Тейлора

Alexx13

Торможу я.
Сорри, плз.
(Иду спать)

lenmas

Судя по всему надо доказать, что если гармоническая функция v(x,y) непрерывна в замыкании верхней полуплоскости, положительна там и на вещественной прямой принимает нулевые значения, то v(x,y)=cy, где c>0. Есть одно решение, но оно слишком неэлементарно. Дальше можно не читать. Переводим верхнюю полуплоскость в единичный круг, соответственно функция v(x,y) переходит в положительную гармоническую функцию в единичном круге. Известно, что такие функции представляются в виде интеграла Пуассона по неотрицательной борелевской мере на единичной окружности (кажется, теоремой Герглотца называется). Так как переведенная функция непрерывна на всей окружности, кроме точки 1, в которую мы перевели бесконечно удаленную точку, и принимает нулевые значения на границе (кроме точки 1 то эта борелевская мера всюду нулевая, кроме точки 1. Значит, она положительно кратна дельта-функции в 1, поэтому переведенная функция есть не что иное, как положительное кратное ядра Пуассона P(w)=(1-|w|^2)|1-w|^{-2}. Если перевести ядро Пуассона с помощью обратного преобразования w=(z-i)/(z+i) в верхнюю полуплоскость, то это будет функция, равная y. Было бы классно придумать элементарное решение задачи.

Alexx13

Утверждение Чеботарёва:
Пусть f(z) голоморфна в верхней полуплоскости V={Im z>0}, непрерывна в [V] пересечь с С и
f(V) \in V, а f(R) \in R. Тогда f - линейная функция. ([V] - замыкание V)
Схема доказательства:
по принципу симметрии f целая, она возрастает на оси x, x_0 - её единственный ноль, ln g = const, где g(z)=f(z)/(z-x_0)

NHGKU2

А почему f возрастает на оси x?

Sanych

Потому что её производная вещественна и не обращается в ноль.
PS. А я вот конец не смог понять, откуда получится ln g=const

Alexx13

Я бы и сам хотел всё это понять. (Подзабыл чуток комплан. А запостил то, что из книжки вычитал: Шабат, глава про теорему Римана) Вот, м.б., знатоки прокомментируют?

Sanych

О, хорошая книжка... если немного подумать
Оказывается, у [однозначной ветви] функции ln g будет ограничена мнимая часть. Ну а значит 1/(ln g+iN) ограничена для достаточно большого N. Всё, дальше см. теорему Лиувилля (ряды Тейлора, стр95 в той же книжке).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: