Пояснить логику вычислений

ursul

Я читаю статью, чтобы сделать что-то наподобие. И у меня не работает в должной степени соображалка, чтобы понять следующие нехитрые манипуляции. Попробую обяснить.
Есть линейная обратная зависимость логарифма некой величины от температуры.
То есть LnK= A/T+B. (1)
А и В пока что константы.
Далее есть другой график, в котором LnK зависит от некой Х в виде квадратичной функции. Х исчисляется от 0 до 1. При этом данная квадратичная функция слегка различна при разных температурах. Используем ту, которая выражает зависимость при 1150 гр С. а именно:
LnK(1150) = - 4,338*X^2 + 4,730*X + 0,127 (2)
Как вы понимаете, Х может меняться от 0 до 1 у всех проб (а речь про хим. пробы и есть на самом деле некое влияние этого Х на величину LnK. Поэтому, когда строят график LnK от (1/T) (который линейный чтобы его аппроксимировать и вывести формулу, значения LnK всех проб должны браться как для Х = 0,2 чтобы все было однообразно. То есть нужны поправки. И как это сделал автор,я не поняла тк он пропустил вероятно некотороые шаги. Он сделал так:
From the experimental lnK(T) at temperature T and the calculated lnK(1150 both for the same X,
a lnK vs. 1/T relationship can be calculated:
lnK= ln K(T) - ln K(1150/(1/T - 1/1423* 1/T + B (3)
1423 - это 1150 в кальвинах, В - пока что константа, а сложное выражение перед 1/T это то что в формуле (1) было А. LnK(T) - это то значение, кот получено экспериментально при данной Т, а LnK(1150) - это посчитанное значение по формуле (2) при известном Х, привязанном к пробе, истинное при Т=1150С.
Вопрос: Как он перешел к этому выражению? мне тяжело вникнуть, я хочу чтобы это было так очевидно, что я сама бы смогла догадаться до такой поправки, если бы ее не было написано.
Далее автор заменяет в выражении (3) LnK(1150) на выражение (2) с Х, и получается, что можно посчитать LnK более точно, не только с помощью Т, но и Х тоже. Вот что получилось у автора:
LnK= (-6173*X^2 + 6731*X + A')/T+ B, где A' и В константы.
тоже хз как оно получилось, хотя тут я не особо старалась, тк уже на предыдущем этапе стопорюсь.
(В итоге то должно вывестись уравнение для Т, но это я уже вполне могу сама, а вот эти этапы в моем личном исследовании совсем другие, и по-мойму не очень верные)
Помогите!

unlim7729

может лучше статейку выложить?

ursul


может лучше статейку выложить?
от интро до аппликэйшн читать.

sashok01

если в (1) и (3) подставлять одинаковое T = 1150 C = 1423 K, то получается разное.
В первом случае будет ln K = A/1423 + B, во втором - B.

unlim7729

лучше покрупнее, чтоб глаза не ломать :)

ursul


если в (1) и (3) подставлять одинаковое T = 1150 C = 1423 K, то получается разное.В первом случае будет ln K = A/1423 + B, во втором - B.
не очень поняла о чем ты, но вроде в 1 и в 3 Т - переменная, а там где надо вставлять 1150 то везде это в кальвинах, тк расчет в кальвинах.

ursul


лучше покрупнее, чтоб глаза не ломать
сделала.

ursul

кажется я нашла новый способ додуматься как он это сделал. но пока еще не до конца. если что напишу, а так пока постою послушаю.

sashok01

вообще автор похоже фейлит. При его исходных данных можно составить матмодель лучше
Пусть lnK =C_2(T)*X^2+C_1(T)*X+C_0(T). В работе есть значения C_2, C_1,C_0 при T=1100 и T=1200. В диапазоне температур 1100-1200 можно предположить, что C_2,C_1,C_0 изменяются как A_2/T + B_2, A_1/T + B_1,A_0/T + B_0, где A и B определяюся по значениям в точках 1100 и 1200. Например,
A_2 = [C_2(1200) - C_2(1100) ]/[1/1200 -1/1100] = 13200 [C_2(1100) - C_2(1200) ] = 13200*(-3.464+5.212) = 23073.6
B_2 = C_2(1200) - A_2/1200 = 12 C_2(1200) - 11 C_2(1100) = -24.44.
Тогда
lnK = (A_2*X^2 + A_1*X + A_0)/T+ B_2*X^2+B_1*X+B_0,
Отсюда также можно выразить температуру (в Цельсиях).

ursul


вообще автор похоже фейлит. При его исходных данных можно составить матмодель лучшеПусть lnK =C_2(T)*X^2+C_1(T)*X+C_0(T). В работе есть значения C_2, C_1,C_0 при T=1100 и T=1200. В диапазоне температур 1100-1200 можно предположить, что C_2,C_1,C_0 изменяются как A_2/T + B_2, A_1/T + B_1,A_0/T + B_0, где A и B определяюся по значениям в точках 1100 и 1200. Например,A_2 = [C_2(1200) - C_2(1100) ]/[1/1200 -1/1100] = 13200 [C_2(1100) - C_2(1200) ] = 13200*(-3.464+5.212) = 23073.6B_2 = C_2(1200) - A_2'/1200 = 12 C_2(1200) - 11 C_2(1100) = -24.44.ТогдаlnK = (A_2' *X^2 + A_1'*X + A_0')/T+ B_2'*X^2+B_1'*X+E_0,Отсюда также можно выразить температуру.
ну неважно как он там составил выражение для 1150. Пусть осреднил для 1100 и 1200. суть не в этом и не в его модели. а в том как он дальше вывел.а насчет выражения Т - это от вас не требуется, тк там еще свои ньюансы - надо поправки на давление вводить.

sashok01

я имел в виду, что если в формулах (1) и (3) константа B одинаковая, то в частном случае T=1150 Цельсиев получается различный результат.

unlim7729

коэффициент А - это тангенс угла наклона прямой.
выражение (ln K(T) - ln K(1150/(1/T - 1/1423) - это и есть тангенс.
Для чего и зачем там получаются выражения - мне не понятно :) Особенно почему в одной формуле в разных местах температура то в кельвинах, то в цельсиях :)

ursul


я имел в виду, что если в формулах (1) и (3) константа B одинаковая, то в частном случае T=1150 Цельсиев получается различный результат.
в (3) А уже не константа а переменная. Поэтому в (1) ничего не считается, это можно сказать частный случай.

sashok01

ну тогда он сначала предполагает, что A не зависит от температуры - константа. Потом он говорит, что она - переменная, зависит от температуры. У него логические противоречия. В частности, формула (3) противоречит формуле (1 которая более фундаментальна, чем его изыски.

ursul


коэффициент А - это тангенс угла наклона прямой. выражение (ln K(T) - ln K(1150/(1/T - 1/1423) - это и есть тангенс.Для чего и зачем там получаются выражения - мне не понятно Особенно почему в одной формуле в разных местах температура то в кельвинах, то в цельсиях
ну да, вроде как тангенс, но только тангенс не всего графика а той его части что получится с поправкой, чтобы у всех одинаков X. А температура там везде в кельвинах, а цельсиями лишь обозначена LnKd, которая посчитана для Т = 1150, там эта цифра просто в скобочках стоит как индикатор а не как множитель.

ursul


ну тогда он сначала предполагает, что A не зависит от температуры - константа. Потом он говорит, что она - переменная, зависит от температуры. У него логические противоречия.
ну все правильно, только не от Т а от Х. Тк сначала думали что функция Т линейна и зависит только от LnKd а потом поняли что и от Х, причем с квадратами.

sashok01

A не должно зависет от температуры, но может зависеть от X. Если аккуратно использовать данные, которые он использовал, то A(X) = (A_2 *X^2 + A_1*X + A_0 где A_2, A_1 и A_0 вычисляются как показано выше

unlim7729

есть экспериментально померенное значение ln K(T) при температуре Т. И есть значение ln K(T) посчитанное из формулы для 1150 С. Хотят получить саму функцию ln K(T) от (1/Т) (зная что она линейна). Для этого и высчитывают коэффициент А.

sashok01

только этот коэффициент A получается зависящим от температуры, чего быть не должно.

unlim7729

почему он зависит от температуры? что-то не понимаю

sashok01

В общем, формулой (3) можно пользоваться, если переписать её в виде:
lnK(T)= ln K(T') - ln K(1150/(1/T' - 1/1423* 1/T + B,
где T - температура между 1150 и T', а T' - некая фиксированная температура. Только тогда это имеет какой-то смысл.

sashok01

потому что он так вычисляется - по разностям величины lnK между отсчётной (1150 С) и текущей температурой. Формально он зависит от текущей температуры. При T-> 1150 в формуле будет неопределённость вида 0/0.
В идеальном случае для идеальной кривой (не экспериентальной) это A не будет зависеть от того, какое T брать. Для экспериментальных данных - будет. Колебания этого коэффициента будут тем больше, чем ближе T к 1150, и предела может и не существовать

sashok01

В общем, формула (с учётом давления)
T = [A_2*X^2 + A_1*X + A_0 + 10(P-P')] / [lnK - B_2*X^2 - B_1*X - B_0 ]
должна работать лучше в большем диапазоне температур

ursul

ладно допустим я поняла как (11) получается (более менее)Но путем банальных вычислений у меня никак не выходит (12) из (11) в которое подставили (10). Может кто попробует посчитать? Это вроде проще должно быть.

unlim7729

я не знаю как правильно надо подставить и посчитать, но я знаю как это сделал автор статьи :)
Если коэффициенты из (10) домножить на 1423, то они получаются ровно как в (12). Куда он дел "экспериментальную" температуру - не ясно. :)

ursul


сли коэффициенты из (10) домножить на 1423, то они получаются ровно как в (12).
это я уже сама домножила. а все остальное-то? что должно получиться по-правильному, можешь показать? у меня получается по другому чем у автора.

sashok01

оно и не получится.
Как можно получить его результаты, рассуждая строго математически и кое-где делая допущения.
1) Он говорит, что при фиксированном P lnK(T,X) = A(X)/T + B(X)
2) Он говорит, что lnK(1150,X) = -4.338*X^2 +4.730*X + 0.127
3) Он говорит - предположим, что коэффициент B(X) не зависит от X.
4) Тогда lnK(T,X) = A(X)/T + B. Так как lnK(1150,X)=-4.338*X^2 +4.730*X + 0.127 = A(X)/1150 + B, то можно выписать общий вид зависимости A(X): A(X) = 1150*(-4.338*X^2 + 4.730*X+0.127-B). Обозначим (0.127-B)*1150 за A'
5) Тогда:
lnK(T,X)=(-6173*X^2 + 6731*X+A')/T + B
6) при X=0.2:
lnK(T,0.2) = (-6173*0.2^2 + 6731*0.2+A')/T + B =(1099+A')/T + B
6) будем подбирать A' и B по экспериментальным данным в осях lnK - 1/T. Получим 1099+A'=3278, B=-1.393. Получаем, что A'=2179. Наплюем на то, что A' должно быть равно (0.127-B)*1150 (получается 1748)
7) Таким образом,
lnK(T,X)=(-6173*X^2 + 6731*X+2179)/T -1.393
8) Пользуясь формулой для пересчёта при другом давлении lnK(T,X,P') = lnK(T,X,P) -10/T*(P'-P где P' - произвольное давление, P - давление при экспериментах (1-7 получаем:
lnK(T,X,P')=(-6173*X^2 + 6731*X+2179-10P'+10P)/T -1.393
Чтобы получить его формулу (14 нужно взять P'=30.
 
По существу формула (11) не используется
Кстати, он пишет, что его измеренная температура ниже, чем у другого автора. если вместо числа 2179 в моей форуле 8) использовать 1748, то итоговая температура должна получиться выше.
В общем, в его вычислениях очевидно есть противоречия.

tester1

Этот тред прекрасен!

ursul


Кстати, он пишет, что его измеренная температура ниже, чем у другого автора. если вместо числа 2179 в моей форуле 8) использовать 1748, то итоговая температура должна получиться выше. В общем, в его вычислениях очевидно есть противоречия.
спасибо! а может сами попробуем по-другому? мне нужно ввести в линейную зависимость LnK=A/T+B не одну а целых две квадратичных зависимости LnK от разных Х (от Х grossular и от X chermakit ну и давление конечно тоже оставить. Как это сделать, если аналогия с автором неуместна, тк все равно мы не поняли, точно ли он прав. ?

sashok01

Искать зависимость в виде:
lnK(T,X1,X2)=A(X1,X2)/T+B(X1,X2) с одной стороны
lnK(T,X1,X2) = C_22(T)*X1^2*X2^2 + C_21(T)*X1^2*X2 + C_20(T)*X1^2 + C_12(T)*X1*X2^2+C_11(T)*X1*X2+C_10(T)*X1+C_02(T)*X2^2+C_01(T)*X1+C_00(T) с другой стороны
в зависимости от наличия экспериментальных данных, делать различные предположения о коэффициентах С_ij(T). Например, можно полагать, что все смешанные коэффициенты C22,C21,C12,C11 равны нулю, тогда результат можно получить при наличии следующих зависимостей:
1) зависимость lnK от X2 при некотором фиксированном X1 и температуре T1
2) зависимость lnK от X2 при некотором фиксированном X1 и температуре T2
3) зависимость lnK от X1 при некотором фиксированном X2 и температуре T1
4) зависимость lnK от X1 при некотором фиксированном X2 и температуре T2
Если же не предполагать, что C22,C21,C12,C11 равны нулю, то понадобится больше экспериментальных данных.
Кстати, если не лень - посчитай, что получается в той же статье по формуле
T(lnK,P,X) = [A_2*X^2 + A_1*X + A_0 + 10(P-30)] / [lnK - B_2*X^2 - B_1*X - B_0 ]
где
A_i =13200 [C_i(1100) - C_i(1200) ]
B_i = 12 C_i(1200) - 11 C_i(1100)
C_i(T) - коэффициент при X^i в экспериментальной зависимости ln K от X при фиксированной температуре T
Отличие этой формулы - она корректно учитывает изменение квадратичной зависимости lnK от X при изменении температуры от 1100 до 1200. Но она не учитывает изменение lnK при фиксированном X во всём диапазоне изменения температур (от 600 до 1300). Однако из его работы видно, что не будет особого отличия аппроксимации, построенной по 11 точкам, от аппроксимации, построенной по двум точкам, так как высок коэффициент корелляции.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: