Как доказать монотонность смешанного объема?

blackout

Смешанный объем http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%EC%E5%F8%E0%ED%ED%FB%E9_%EE... монотонен по каждому аргументу. Кто-нибудь знает, почему?

Vlad128

ну там участвуют суммы по минковскому и умножение на положительное число, они все сохраняют отношение включения.
Дальше, смешанный объем — это смешанная производная в нуле объема линейной комбинации. Сама лин. комбинация в нуле равна нулю, за пределами нуля выходит она всегда не меньше (из монотонности объема линейной комбинации значит, производная в пределе тоже не меньше.
Там строгая монотонность должна быть?

BSCurt

Потому что объем подмножества меньше или равен объема множества его содержащего?

blackout

Монотонность в смысле, что V(A1,A2,...,An) < V(A1',A2,...,An) если A1' содержит A1.

Vlad128

ну да, я это и доказывал.
только строго меньше там не выйдет хотя бы из-за множеств меры ноль.
А как с доп. условием доказать строгость, не знаю. Это принципиально?

blackout

Ага, спасибо. Строгая монотонность видимо есть только для A1 и A1' выпуклых максимальной размерности, но мне это уже неинтересно.

BSCurt

Строгая монотонность видимо есть только для A1 и A1' выпуклых максимальной размерности, но мне это уже неинтересно.
Как бы определение смешанного объема и сформулировано для Convex body - выпуклых замкнутых множеств с непустой внутренностью(или как там оно правильно называется).

blackout

Да, но никто не мешает считать смешанный объем, например, двух отрезков в R^3 который будет 0. Еще можно выразить его через обычный объем, например V(A,B)=(V(A+B)-V(A)-V(B/2, и считать по этой формуле для невыпуклых тел.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: