Вычисление определителя

Pacman172720

Помогите с вычислением определителя!

Soror

+|a|+|b|

Vlad128

А что такое |a|? Оно больше нуля для ненулевых a?
Тогда странно, [math]$a_1 = 0, a_2=1, b_1 = -1, b_j = 0, j = \overline{2,n}$[/math], в этом случае определитель будет ноль.

mtk79

Я думаю, Рольник имел ввиду |a|=\sum_k a_k. Без модулей. Иначе для n=1 уже неправильно. Можно принять за рабочую гипотезу и попробовать доказать по индукции. К.О.

Vlad128

Да, уже понял (второй раз, в первый тупанул, подумал, что не понял). Проще всего сделать через формулу для характеристического многочлена и подставить туда [math]$\lambda = -1$[/math]
Но это не по материалам первого семестра изучения линала, да :grin:
Нет, все-таки тупанул, миноры порядка два могут быть невырожденными :(

mtk79

Кстати, исходя из того, что опр-ль — полилинейная форма, и тождества ln det C=Sp ln C я думаю, что конжектура Рольника верна

lenmas

Можно принять за рабочую гипотезу и попробовать доказать по индукции. К.О.
Это есть читерство. Здесь надо вычитанием, умножение строк-столбцов :grin:

lenmas

тождества ln det C=Sp ln C
Что за бред? :confused:

Vlad128

Для матрицы [math]$\left(\begin{array}{rr} 1 + 1 + 1 & 1 + 2 \\ 2 + 1 & 1 + 2 + 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}\right) = 6 \neq 7 = 1 + 1 + 1 + 2 + 2$[/math] не срастается :crazy:
Такое ощущение, что у нас ход мыслей был похожим (учитывалось, что исходная матрица, но без смещения вырождена для n > 1, а это не так, надо n > 2).

mtk79

а какие возражения? если Вы приведете пример невырожденной С — я, конечно, поверю
ПС. гипотеза, ясен пень, неверна, но...

irenape

1+|a|+|b|
Я думаю, можно упростить до 1 + с

vsjshnikova

Если разложить по полилинейности на 3^n слагаемых, потом поуничтожать все с линейно зависимыми строками, то получится [math]$$1 + \sum_{i=1}^n a_i +\sum_{i=1}^n b_i + \sum_{1\leq i<j\leq n} (-1)^{j-i}(a_j-a_ib_j-b_i)$$[/math].
Но я мог где-то наглючить.

Vlad128

Ну это уже наверное верно, у меня что-то подобное получается, с этой правой суммой ничего хорошего сделать не удается.

mtk79

что-то сложно. последнее предложение для индукции таково:
det=1+sum a_k+sum b_k + sum_{kl}a_k*b_l - n*(A \cdot B
где A \cdot B=ск.произв.=\sum_k a_k* b_k
или, что то же самое
det=1+sum a_k+sum b_k + sum_{k \neq l} a_k*b_l - (n-1)*(A \cdot B

lenmas

Если разложить по полилинейности на 3^n слагаемых, потом поуничтожать все с линейно зависимыми строками, то получится [math]$$1 + \sum_{i=1}^n a_i +\sum_{i=1}^n b_i + \sum_{1\leq i<j\leq n} (-1)^{j-i}(a_j-a_ib_j-b_i)$$[/math].
Но я мог где-то наглючить.
В общем, я согласен :)
Проскуряков тоже с тобой согласен, только нужно убрать (-1)^{i+j}, и минус перед последней суммой поставить.
Кстати, тогда по тождеству Чебышева ответ можно привести к виду
[math]  $$  \Bigl(1+\sum_{i=1}^na_i\Bigr)\Bigl(1+\sum_{i=1}^nb_i\Bigr)-n\sum_{i=1}^na_ib_i.  $$  [/math]
 :grin:
И тогда совпадет с силиконцом :D
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: