Вопрос по Слупам и временным рядам

dctytgjxtv

Помогите пожалуйста решить следующую задачу:
Дан процесс MA(q) - скользящее среднее порядка q. Скажем,
y_t=e_t + ... + e_(t-q где все e_t - независимые, нормально распределенные, с одинаковой дисперсией и нулевым мат ожиданием.
Пусть мы начали наблюдать процесс не с момента "запуска" процесса (который произошел когда-то в прошлом а в некоторый момент t=t_1. Тогда
y_1=e_1 + ... + e_(1-q)
Допустим прошел некоторый промежуток времени T<q, в течение которого мы наблюдали последовательно y_1, y_2, ... y_(T-1).
Помогите пожалуйста посчитать условное математическое ожидание:
E[y_T | y_(T-1 ... y_1]
Ключевой момент в задаче, что время, в течение мы собирали данные меньше q, поэтому нам придется считать условное ожидание e_t, t<=0.
Я свела это к следующему:
E[y_T | y_(T-1 ... y_1]=E[e_T+ y_(T-1)-e_(T-q-1)| y_(T-1 ... y_1]=y_(T-1)+E[e_(T-q-1)|y_(T-1 ... y_1]
Что я пробовала делать:
считала по формуле условного ожидания для многомерного нормального распределения, но не получилось произведение вектора и матрицы свести к формуле которую хоть как-то можно свернуть.
пыталась упростить условие y_(T-1 ... y_1 с точки зрения выделения независимых компонент.
Пока что есть подозрение, что получится линейная комбинация y_(T-1) и y_1, но доказать это не могу и посчитать коэффициенты тоже не получается.
Заранее спасибо.

griz_a

Вообще найти матожидание [math]$E(X_1|X_2,..,X_n)$[/math], где [math]$(X_1,X_2,...,X_n)$[/math] образуют многомерный нормальный вектор, несложно.
Достаточно поглядеть на это как на проекцию [math]$ X_1 $[/math] на подпространство, порожденное [math]$ X_2,...,X_n$[/math]
Если подобрать [math]$c_2,...,c_n$[/math] так, чтобы
[math]$ cov(X_1- (c_2 X_2+...+c_n X_nX_2) = ... = cov(X_1 - (c_2 X_2+...+c_n X_)n,X_n) = 0$[/math], то [math]$X_1 - (c_2 X_2 + ... c_n X_n)$[/math] будет независима от [math]$X_2,X_3,...,X_n$[/math], то есть ортогональна их подпространству а значит [math]$c_2 X_2 +...+c_n X_n$[/math] с точностью до константы будет проекцией [math]$X_1$[/math] на [math]$(X_2,...,X_n)$[/math]. Из нулевости матожиданий константа тоже 0.
У нас [math]$cov(X_i,X_j) = q-i+j$[/math], [math]$i\ge j$[/math].
Значит получаем линейную систему, у нее легко подбором или линейным преобразованием найти корни.
Навскидку получается
[math]$\frac{(2q-T+1)Y_{T-1}-Y_1}{2q-T+2},$[/math]
но мог и обсчитаться.

dctytgjxtv

Спасибо большое!
Да, действительно все прекрасно упрощается. Использовала этот метод, получились те же самые коэффициенты.
А я правильно понимаю что это будет не единственное разложение?

griz_a

Это вопрос "единственна ли проекция вектора на плоскость"? :)
Единственна, конечно, просто это такой изящный способ ее найти, когда все нормальное и ортогональность двух векторов влечет ортогональность вектора всему пространству.

dctytgjxtv

Хаха, действительно! Спасибо огромное за помощь.

fisher58

а что ты будешь делать, если кто-то спросит решение задачи, которую ты недавно задал на дом студентам, или вроде того?

griz_a

Посоветую обратиться к семинаристу :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: