Преобразование базиса

tatushnik77

Стыдно за МГУ... И тем не менее:
Допустим, у нас есть выражение rot (rot E)= чему-то там.
Мне надо сделать линейную замену x->2*x. Как сделать, чтобы структура ротора не изменилась? Ведь после такой замены возле операции d/dx надо писать 2 (умножить d/dx на 2).
Если кто сталкивался, подскажите, плз.

mtk79

x — это одна из координат или все?
2.что подразумевается по "структурой ротора"? Она имеет структуру "dE2/dx1-dE1/dx2" только в декартовых координатах. Т.е. если у Вас будет x'=2x — то выражение для ротора не будет "dE2(x',y)/dx'-dE1(x',y)/dy".
Существует инвариантное определение ротора через формулу Стокса и куча формул для выражения ротора (и др. диф.операторов) в ортогональных (неортонормированных) базисах через диагонализованный метрический тензор (так называемые коэффициенты Ламе)
ПС. Ну или если знаете про дифф.формы — то еще проще.

tatushnik77

1.x — это одна из координат или все?
Да, одна из координат
2.что подразумевается по "структурой ротора"? Она имеет структуру "dE2/dx1-dE1/dx2" только в декартовых координатах. Т.е. если у Вас будет x'=2x — то выражение для ротора не будет "dE2(x',y)/dx'-dE1(x',y)/dy".
Разве не 2*dE2(x',y)/dx'-dE1(x',y)/dy ?

ПС. Ну или если знаете про дифф.формы — то еще проще.

А это еще что за зверь?

mtk79

 
2*dE2(x',y)/dx'-dE1(x',y)/dy

Ну да. Это же не dE2(x',y)/dx'-dE1(x',y)/dy. (хотя если преобразование E(x,y) в E(x',y) также линейное — однородное по х электрическое поле — то искомая структура, скорее всего, восстановится)
Если замена базиса — линейная, с матрицей перехода с не зависящими от коорд. коэффициентами — то можно непосредственно подставлять (проносить коэффициенты перехода через дифференцирования как в данном случае.

tatushnik77

Если замена базиса — линейная, с матрицей перехода с не зависящими от коорд. коэффициентами — то можно непосредственно подставлять, как в данном случае.
т.е., заменив х на 2х, а орт i на 2i, мы абсолютно не изменим структуру ротора, верно?
было dE2(x,y)/dx-dE1(x,y)/dy
стало dE2(x',y)/dx'-dE1(x',y)/dy
А что тогда вообще изменится в уравнении, если мы заменили как x->2x, так и i->2i?
Рискну предположить, что если туда входит некоторая матрица, умноженная на вектор, то после замены x->2x и i->2i надо преобразовать соответствующим образом именно ее, правильно?

griz_a

Я так понимаю система координат декартова и то, что в условии написан двойной ротор - просто следствие желания автора разъяснить получше.
Мы сделали замену x->x1
Теперь ротор имеет вид (dE2/dx1-dE1/dy,... где Е2 - уже несколько другая функция - теперь она от x1,y,z

tatushnik77

Теперь ротор имеет вид (dE2/dx1-dE1/dy,... где Е2 - уже несколько другая функция - теперь она от x1,y,z
А почему в таком случае перед dE2/dx1 не стоит соответствующий множитель?
Например, если мы написали x1=2x, то надо же вроде писать вместо dE2/dx-dE1/dy
выражение 2*dE2/dx1-dE1/dy .

По крайней мере, при похожей замене в дифференциальных уравнениях именно так. В чем я не прав?
P.S. Это не от нефиг делать, я вполне серьезно интересуюсь.

griz_a

В старой координате x - удвоенная, в новой - неудвоенная. Ты же вектор ротора оба раза пишешь в старых координатах

tatushnik77

В старой координате x - удвоенная, в новой - неудвоенная. Ты же вектор ротора оба раза пишешь в старых координатах
Нет, я его хочу в новой записать, но чтобы форма ротора не менялась.

griz_a

Так она и не меняется. То, что у тебя первая координата получилась удвоенная связано с тем, что ты преобразованный ротор пишешь в старой системе кооординат (x,y,z a надо в (x1,y,z тогда и удвоение пропадет

tatushnik77

Так она и не меняется. То, что у тебя первая координата получилась удвоенная связано с тем, что ты преобразованный ротор пишешь в старой системе кооординат (x,y,z a надо в (x1,y,z тогда и удвоение пропадет
Да, но если такие замены делать в уравнении Максвелла, например, то сохранят ли они свой смысл и корректность?

griz_a

Ротор хорошо преобразуется при декартовой смене координат, какая разница, в каком уравнении?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: