Измеримое по Лебегу множество

Mike3

кто-нибудь может привести точное определение измеримого по Лебегу множества в случае классической Лебеговой меры в R^n? \\

dimaxd

Множество A называется измеримым по Лебегу, если

где R(S) - кольцо, порожденное полукольцом S (в случае классической меры Лебега S состоит из прямого произведения полуинтервалов: S = { |---)^n } ). Далее по известной теореме мера однозначно продолжается на сигма-алгебру, натянутую на R(S - сигма-алгебру измеримых множеств.
Вроде так.

Mike3

спасибо

dimaxd

Да не за что Петр Анатольевич крепко этому научил

Mike3

Вот завтра и проверим у ПА, насколько точно ты помнишь определение

tramal

А пример неизмеримого по Лебегу множества кто-нибудь знает?

aqvamen

вроде бы из канторовой лестницы делается

egr77

alpha - иррац. число, окружность длины 1. Все точки делим на классы по поворотам окружности на углы Pi*alpha*n, n-целое. Каждый класс - счётное мн-во точек. Выберем из каждого класса по одной точке, полученное мн-во неизмеримо.

tramal

Из канторовской лестницы можно доказать, что такое множество существует...

tramal

нет, не так. через канторовскую лестницу доказывается существование неизмеримой функции.

vitamin8808

И обычно не борелевское измеримое множество строится.

tramal

а она сама по себе не является неборелевским измеримым?

aqvamen

во, точно балда я

aqvamen

не-а

tramal

оно же измеримо...

vitamin8808

канторовская лестница -- функция.

aqvamen

сама по себе она измерима и по Борелю... нужно меру "дырок" сделать ненулевой, тогда только по Лебегу. вроде так

vitamin8808

да она непрерывна на [0,1], а дифф. почти всюду, вы чего тут за флуд развели

vitamin8808

нет, как была непрервной, так и останется

aqvamen

отстань. нафлудишь с наше - будешь командовать.

aqvamen

да ну? когда там разрывы в явном виде строятся?

tramal

Канторовская лестница - непрерывная почти всюду функция! У меня книжка в свидетелях!

aqvamen

пипец. я же сказал - взяли канторовскую лестницу, но нестандартную, а "дырявую", на "дырках" нужно добиться разрывов ненулевой меры(чтобы С-свойство нарушилось в частности, можно повторить там ту же процедуру. получится фрактал(не помню, как называется, но довольно известный)

vitamin8808

характеристическая функция канторовского множества положительной меры получиться

aqvamen

>характеристическая функция канторовского множества положительной меры получиться
значит так
во-первых, получится
а во-вторых, конечно же получится нечто более сложное

naami_moloko

А пример неизмеримого по Лебегу множества кто-нибудь знает?
Если до сих пор и очень надо, то могу привести пример, в построении используется аксиома выбора...

vitamin8808

Ага, а ещё кроме классического примера Витали есть пример неизмеримого множества Т. П. Лукашенко.
Только его долго постить

dimaxd

А где его найти можно? Хочется посмотреть.
Или запости, если не влом

vitamin8808

влом.
Там страницы 3 построение, как я это запощу ? Спроси у автора лучше
его на мехмате легко найти
PS А если тебе нужны примеры неизмеримых множеств, то их много немало собрано в книге
Богачёва "Основы теории меры", недавно вышла.

naami_moloko

Ну так постить или нет?

tramal

я сдала уже экзамен

dimaxd

Вот завтра и проверим у ПА, насколько точно ты помнишь определение

Ну как, правильно? Что сдавала, как сдала?

tramal

ничего из того, что обсуждалось в этом треде, мне не понадобилось.
Понадобился контрпример к теореме Лузина и пришлось придумывать доказательство того, что из любого покрытия множества в R^n можно выбрать не более чем счетное подпокрытие.

_shmel_

Из любого?

tramal

открытыми множествами, конечно

petr1

а что за предмет сдавала?

tramal

Действительный анализ, конечно
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: