Матрица перехода от сечения плоской симметрии к аксиальной

stat52349

Есть плоскость xy. На ней есть заряды. Заряды расположены симметрично оси x. Для заданного расположения зарядов имеются функции, описывающие проекции вектора напряженности электростатического поля на оси: x - Ex(X,Y) и y - Ey(X,Y). Симметрия распределения зарядов задает, что Ey(X,Y)=-Ey(X,-Y).
Если заряды расположить уже не на плоскости, а аксиально-симметрично относительно оси x в пространстве, то функции Ex и Ey изменятся. Чую, что их надо будет домножить на какой-то коэффициент, который зависит от координат X и Y. Вопрос заключается в том, как этот коэффициент выражается через X и Y?

stm7929259

Тоже чую...

vovatroff

Заряды после прокручивания вокруг оси x остаются точечными, или размазываются по оружностям?
(Это важно, так как в первом случае никакой осевой симметрии не будет, если, конечно, заряды не сидят на самой оси x).

stat52349

Разумеется, размазываются по окружностям.
Можно даже сказать так: сначала они были размазаны в пространстве по прямым вдоль оси Z, а теперь по окружностям вокруг оси X.

vovatroff

Всяко лучше работать с потенциалом \phi, а напряженность потом вычислить как -grad \phi.
Тогда имеется два разных уравнения Пуассона \Delta \phi = -4*\pi*\pho (система единиц СГС
\rho - плотность зарядов. Одно из уравнений - на плоскости, в координатах x, y. Второе
уравнение - в 3-мерном пространстве, причем в силу осевой симметрии (если она есть, конечно)
его удобнее изучать в цилиндрических координатах - см. любой учебник/справочник/задачник
по ур мат физ или чему-нибудь вроде этого. Для осесимметричных решений третья переменная
(угол) исчезает, и уравнение становится тоже двумерным, как и в плоскости, хотя оператор
Лапласа в криволинейных координатах выглядит, конечно, по-другому. Но если далее сделать
нехитрую (стандартную) подстановку, то вид Лапласиана упростится, и решения двух этих
уравнений уже можно будет сравнивать между собой. Подозреваю, что именно это вас и
интересует.

stat52349

В общем, да. Только все еще проще даже без потенциала. Очевидно, что переходе к осевой симметрии вектор E в каждой точке плоскости по прежнему останется лежать в плоскости. Для того, чтобы определить изменение вектора E при переходе к осесимметричной задаче необходимо проинтегрировать dE ото всех новых зарядов. Особенно легко это сделать в проекциях, то есть отдельно для Ex и Ey, учитывая то, что Z=Y.
Пока до этого просто руки не доходят. Я думал, что может у кого есть уже готовые уравнения

vovatroff

Чужие уравнения дольше проверять, чем свои вывести
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: