Пример по функану

zzzXAXAXAzzz

Необходимо привести пример бесконечного метрического пространства, в котором всякое предкомпактное множество конечно

assasin

Бери пространство с дискретной метрикой: d(x,y)=1 для всех x=/=y

zzzXAXAXAzzz

согласен, прям тривиально оказывается

zzzXAXAXAzzz

Тогда у меня возник вопрос по другой задачи, извените, что мега наглею , просто давно я функан сдавал, не помню уже всего, а тут попросили к зачету туеву туча задач решить...
Доказать, что уравнение f(t)=t + eps*f(t^2 где eps из (0,1) имеет единственное решение в C[0;1]

griz_a

Рассмотрим два решения. Тогда
(f1-f2t)=eps*(f1-f2t^2)
Т.е. f(t)=eps*f(t^2)
Пусть f(s)!=0, s in [0,1]
Тогда f(s^{1/2n})=f(s)/eps^(1/n)
n->inf, s^{1/2n}->1 => f(s^{1/2n})->0, поскольку из начального уравнения f(1)=0
Но правая часть стремится к inf или -inf
Противоречие, т.е. таких s нет, что и т.д.

Pisikot

хе, так это ж сжимающее отображение в ц[0,1] - банахово

ivan9696

f(t)=t+eps*t^2+eps^2*t^4+eps^3*t^8+...+eps^n*f(t^{2^n})=t+eps*t^2+eps^2*t^4+eps^3*t^8+...

ivan9696

Т.е. решение единственно даже в классе ограниченных функций, например.

ivan9696

С какого это оно сжимающее?

zzzXAXAXAzzz

f(s^{1/2n})=f(s)/eps^(1/n)
со всем согласен, спасибо... тока здесь f(s^{1/2n})=f(s)/eps^( n )

Pisikot

проверь, если не получиццо, будет странно

Razigel

Тьфу, блин, меня проглючило. Действительно, сжимающее.

iri3955

А я не понимаю, почему? То есть даже елси оно таким оказалось, как такой вывод сделать из уравнения?

iri3955

Вродк даже как функция диффиренцируема и при t > 0 производная > 1. Дык с какого ж фига, отображение-то сжимающее?

assasin

Решаем уравнение f(t)=Af(t):=t+eps*f(t^2) в полном метрическом пространстве C[0;1]. Оператор Af(t) сжимающий, т.к. ||Af-Ag||<=eps||f-g||.

zzzXAXAXAzzz

а что вам вообще дает, что отображение сжимающее...?

assasin

а что вам вообще дает, что отображение сжимающее...?
Существование и единственность решения.

zzzXAXAXAzzz

Ыыы... по теореме о неподвижной точке... так и есть...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: