Что такое ранг матрицы?

romaris

и как его искать? вообще такая задача: как определить, что столбцы матрицы линейно-независимы?

griz_a

Ранг матрицы - число линейно независимых столбцов (или строк, что то же самое)
Чтобы узнать, все ли столбцы квадратной матрицы линейно независимы, достаточно посчитать определитель. Если он 0, то линейно зависимые есть, если нет, то нет. Чтобы посчитать ранг нужно привести матрицу к диагональному виду и посмотреть, сколько будет ненулевых строк

topboy84

а если матрица не квадратная?

griz_a

Если матрица не квадратная, то все ее столбцы линейно независимы если ранг матрицы равен их количеству

nepomnyu

А алгоритм Гаусса для чего?

Mafka11

Если матрица не квадратная, то все ее столбцы линейно независимы если ранг матрицы равен их количеству
А если столбцов больше чем строк?

griz_a

То ранг матрицы не будет равен числу столбцов, очевидно. Утверждение-то верное, а автор, думаю, сам сообразит, что если его столбцы векторы длины n и их больше n, то они зависимы

svetik5623190

ранг бывает строчный = числу линейно независимых строк
бывает столбцевой = числу лин незав столбцов
и бывает минорный = максимальному размеру не равного нулю минора матрицы
Теорема из линейной алгебры состоит в том, что все три ранга равны. Причём для любой матрицы, не обязательно квадратной.
Но в частности, если матрица n на n имеет не равный нулю определитель (т.е. ненулевой минор размера n то её равнг равен n.
Преобразования, не меняющие ранг матрицы:
транспонирование
прибавление к строке линойной комбинации других строк
прибавление к столбцу линейной комбинации других столбцов
умножение строки на не равное нулю число
умножение столбца на не равное нулю число
перестановка местами столбцов (то есть например третий вычеркнул, на его место написал пятый, пятый вычеркнул и на освободившееся место написал третий)
перестановка местами строк
с помощью этих преобразований нужно привести матрицу к виду, в котором строчный или столбцевой или минорный ранг легко считается.
Успехов

svetik5623190

а что значит привести матрицу к диагональному виду ?
значит путём преобразований, которые я называл выше, привести её к виду, когда не нулевые элементы могут стоять только на главной диагонали.
бывае ещё верхнетреугольный вид - это когда ненулевые могут быть только на гл. диагонали или выше, нижнетреугольный и много других видов.

griz_a

Не отвечай анониму в оффтопе
Я имел ввиду верхнетреугольный вид, диагональный тут не требуется

svetik5623190

Не отвечай анониму в оффтопе
Я имел ввиду верхнетреугольный вид, диагональный тут не требуется
случайно вышло, я даже не заметил
я специально уточнил, т.к. аноним мог подумать из твоего поста, что диагональный вид - это верхнетреугольный.

SmirnovS

все вышесказанное имеет смысл только над полем. если вы работаете над телом то левый строчный ранг равен правому столбцовому, а правый строчный - левому столбцовому

svetik5623190

все вышесказанное имеет смысл только над полем. если вы работаете над телом то левый строчный ранг равен правому столбцовому, а правый строчный - левому столбцовому
Спасибо, я не знал.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: