Интеграл от 0 до бесконечности от дельта-функции

lito

интеграл от 0 до бесконечности от дельта-функции(0).
0,5 или 1?

vasia

Mathematica говорит 1/2 и я с ней согласен
(м.б. примерно так: интеграл(-беск,беск)=интеграл(-беск,0)+интеграл(0,беск)=2интеграл(0,беск)=1)

lito

я того же мнения, но были сомнения.

lebuhoff

Но дельта функция имеет особенность только в одной точке!
Поэтому, по идее, если брать интеграл, включая эту точку, то он должен быть равен 1.
Другое дело, что для удобства мы интерпретируем дельта-функцию в виде неимеющей особенностей "обычной" функции, размазанной в окрестности....

alinagavrilova

Ну хорош показывать тут свои ботанские знания... Вопрос уже закрыт!

lebuhoff

Сумма двух интегралов = интеграл с особой точкой (равен 1) + интеграл с выколотой особой точкой (равен 0).
Вопрос лишь в том, куда отнести особую точку.
Всё же лучше посмотреть справочник или спросить математиков...

fatality

Вот ты воды развел... Сам же пишешь о предельном переходе в "аналитическом" определении дельта-функции, совершенно симметричном относительно нуля - и маешься, куда "особую" точку отнести Для любого представителя дельтаобразной последовательности она совсем не особая, во 1-х. Куда ее ни отнеси, предельный переход по дельтаобразной последовательности под интегралом от 0 до бесконца что включая, что не включая 0 даст 1/2 f(0) для непрерывной в 0 функции f- если лень думать, можно сослаться на теорию меры и аддитивность интеграла:) Впрочем, про рез-т и так уже написано

kachokslava

Дайте определение дельты-функции.
Что понимается под интегралом от неё "от нуля до бесконечности" и т.п.
("Возьмите транспортир")
Правильно ли я понимаю, что для неметематических целей её представляют как предел последовательности функций вида "прямоугольник" на отрезке [-1/2n, 1/2n], высоты n?
и, говоря математическим языком, пополняют пространство интегрируемых функций, это пополненное пространство называют пространством обобщённых функций.
не факт, что от каждого элемента этого пространства можно взять интеграл..
Почему есть уверенность, что интеграл обладает свойством аддитивности на "обобщённых функциях"?
хех - по поводу "для любого определения дельты-функции". Зачем требовать симметричность?
а если я её определю как "прямоугольник на [-2/3n, 1/3n] высоты n"?
Ещё раз: требуется определить дельта-функцию, а то физики и математики её по-разному воспринимают..
Математический ответ такой - интеграл на [0,беск] не определён.

fatality

Неправильно. Грубо говоря, обобщенные функции - это линейные функционалы, действующие на пространстве т.н. основных функций, так, дельта-функция сопоставляет функции f(x) ее значение в 0. Это действительно одно из разумных обобщений понятия функции - аргументацию здесь опускаю, она понятна и ее много в литеоатуре по об. ф. Другое дело, что не все такие функционалы могут быть представлены в виде интегралов с подходящим ядром, т.е. не все об. фции регулярны - дельта-функция тоже такова, хотя удобно сохранить привычное интегральное обозначение int delta(x)*f(x)dx. Т.е. дельта есть сингулярная обобщенная функция . Итак, желательно придумать аналитическую процедуру, которая сопоставляла бы каждой основной фции f(x) ее значение в 0. Для этого как раз используются дельтаобразные последовательности, сжимающиеся к 0 - не обязательно прямоугольные - такие, что интеграл от любого их представителя равен 1. Предел интегралов представителей такой посл. с f(x) как раз и определяет действие дельты на основные (скажем, беск. дифф. с ограниченным носителем) ф-ции f - это будет f(0 как легко убедиться. Несущественые детали и уточнения опускаю.

natunchik

дык а почему 1/2 то?
Как раз 1!
Ну то есть прям по одному из определений интеграл (по всей прямой, не важно) f(x)*delta(x)dx = f(0). Если ты интегрируешь не по всей прямой, то либо у тебя ноль принадлежит множеству, и ты получишь f(0 либо не принадлежит, и ты получишь ноль. Точка 0 в данном случае либо принадлежит, либо не принадлежит, соответственно рассуждения на тему того, что будет в случае несобственных интегралов (то есть, например, на интервале (0, +inf вообще бессмысленны, а попытки заменять дельта функцию чем-нить другим, и это что-нить интегрировать естественно приводят к неправильному результату.
Да, кстати, а интеграл "просто дельта функции" это на самом деле интеграл f(x)*delta(x)dx где f(x) = 1 (тождественно).
Да, кстати, а дельта-функция это ядро единичного оператора в интегральной форме а вовсе не искуственная абстракция =) Я это недавно осознал во всей полноте =)

fatality

по всей прямой, не важно
LOL Какая чепуха.
Прочувствуй взаимоотношение абстрактного и конструктивного определениий, хотя бы важность уточнения области интегрирования вообще, область, на которой что-нибудь действует - это совсем не мелочь в функциональном анализе - не только в теории ОФ
Ликбезом заниматься не буду - книжки есть для этого. Причина появления 1/2 грубо говоря та же самая, что в тождестве int по прямой f(x) = 2 int f(x) по полупрямой [0;беск) для четной фциии f.
Да, кстати, а дельта-функция это ядро единичного оператора в интегральной форме а вовсе не искуственная абстракция =) Я это недавно осознал во всей полноте =)
Слава Богу. хоть это правильно Искусственных абстракций в математике вообще меньше, чем кажется на первый взгляд

kachokslava

Если мы понимаем дельта-функцию как линейный функционал - дай определение, пожалуйста, что такое интеграл от д.ф. на интервале [0, беск).
Если хочется думать, что у этого функционала есть какое-то интегральное ядро (пусть и из одной точки то докажи, пожалуйста что интеграл на отрезке [0,inf) равен 1/2
Я могу придумать такую последовательность d_n(x) - я её уже привёл постом выше - такую что:
1) для любой f(x): int d_n(x)*f(x) dx -> f(0) на (-inf,inf)
2) int d_n(x)*f(x) dx на отрезке (-inf,0] =/= [0,inf)
Рекомендую просмотреть эту дискуссию:

Vitaminka

а если взять функцию равную нулю на (-inf;0) и 1 [0;+inf)
тогда действие функции на нее будет искомым интегралом

kachokslava

Что такое "действие функции на функцию"?
Интеграл от их произведения?
и что подразумевается под "искомый интеграл"?

Vitaminka

дельта-функция действует как обобщенная функция
и интеграл от дельты на тета-функцию - будет интеграл от дельты на (0;+inf)

demiurg

Дельта-функция четная. Почему? А так договорились. Действительно, как ты говоришь, можно было постороить ее пределом и из несимметричной, но ее строят из симметричной. Поэтому ответ 1/2.
Это я не придумал, я это просто помню, мне такой вопрос встречался. Кто с этим не согласен - тот спорит с преподами.

natunchik

Нет. Я все равно не понимаю.
Насколько я помню, дельта-функция умеет действовать (интегрироваться вместе с) на кусочно-линейные функции, да?
Тогда меня интересуют значения этого самого интеграла с функциями
1) f(x) = 0, x < 0; f(x) = 1, x >= 0
2) f(x) = 1, x < 0; f(x) = 0, x >= 0
3) f(x) = 0, x <= 0; f(x) = 1, x > 0
4) f(x) = 1, x <= 0; f(x) = 0, x > 0
Причем исходя из линейности функционала я желаю подтверждения аддитивности.
ИМХО единственный вменяемый ответ это
1) 4) 1
2) 3) 0.
То есть в полном соответсвии с тем что дельта-функция это таки ядро _единичного_ оператора в интегральной форме.

Angela

2 3 4) = 1/2.

Mary82

Прошу прощения, если повторюсь (всё прочитать не осилил но, по-моему, ответ такой.
Если интегрирование ведётся по множеству [0,\infty то интеграл равет 1, а если по (0,\infty то - 0.
А интеграл "от нуля до бесконечности" - вещь неопределёная.
Просто для большого класса функций (скажем прямо - для измеримых ) интергал по множеству меры 0 равен 0,
поэтому для них такие слова вполне осмыслены.
Но дельта-функция не является измеримой функцией, ибо не является фунцией вовсе!
Она специально определена таким образом, чтобы быть чувствительной к множеству нулевой меры
(одноточечному, если быть конкретным ).
Кажется, в свете сказанного, двух мнений тут быть не может.
Извините, если написал чушь - давно не занимался такими вещами.

demiurg

Я не уверен, что интеграл от дельты на хевисайда по всей прямой будет интеграл от дельты на полупрямой, как говорит .
Если нет, то ты написал все правильно, ибо интеграл по всей прямой.
Кстати, это Хевисайда от нуля? Кстати, не для этого ли ее там назначают равной одной второй?

demiurg

Хммм... Кстати, Maple говорит так (уж теперь не знаю, верить ли):
int(Dirac(xx=0..infinity);
1
int(Dirac(x)*f(xx=0..infinity);
f(0)
int(Dirac(x)*Heaviside(xx=-infinity..infinity);
undefined
Так, что видимо, возможна, и такая точка зрения.
Кстати, у него
Heaviside(0);
undefined

Vitaminka

нашел чему доверять
тенм более функцию хэвисайда в нуле можно определить либо 0 либо 1
как заблагорассудится

demiurg

Ну да, тогда Maple не прав, а я прав был

Vitaminka

вечером приду литературу почитаю
а вообще действие определялось для С^{\inf} или там как-то расширили?

IgorK

Товарищи, мне кажется, нужно смотреть, в каком контексте вычисляется интеграл.
Если я считаю монопольный момент точечного заряда в сферической системе координат,
то у меня возникает интеграл от 0 до бесконечности по r от \delta(r). Он должен быть равен единице - чисто из физического смысла (а вовсе не 1/2). Так что если возникает такой странный интеграл, то, мне кажется, нужно сначала подумать, почему он появился, зачем он здесь нужен, и какой в нем смысл. А то формально-символьно можно получить самые разные результаты, и не все они будут верными. Вот.

demiurg

Сферическая система координат сингулярна, и как раз в этой точке. Только этого нам и не хватало.
А точечный заряд ты по всему пространству интегрируешь... И в обычных координатах это будет по каждой из них от -infinity .. +infinity

natunchik

quote]1 2 3 4) = 1/2.
Ну как же так безответственно можно хню нести?
То есть по твоему int(-inf, +inf) (f(x)*delta(x)dx) иногда не равен f(0) даже в случае прекрасной кусочно-постоянной f(x)? муа-ха-ха, блин.

edikbl

важен контекст.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: