Как приводить к жордановому виду

fjodnik1

После того, как собственные значения найдены и их кратности

ARTi

вычитаешь из матрицы лямбда1*E и получившуюся матрицу возводишь в степень до тех пор, пока не стабилизируется ранг матрицы
на словах трудно объяснять, а писать подробно ох как влом

ARTi

ладно уж, чего со скуки не сделаешь:
пусть у тебя была матрица A размера n*n, лямбда_k имеет кратность c_k
Лямбда_k соответствует несколько жордановых клеток общей размерностью c_k. Чтобы найти их размеры, делаем следующее:

ARTi

в процессе вспоминания выяснилось, что не все так просто, как казалось

shpanenoc

ладно уж, чего со скуки не сделаешь:
пусть у тебя была матрица A размера n*n, лямбда_k имеет кратность c_k
Лямбда_k соответствует несколько жордановых клеток общей размерностью c_k. Чтобы найти их размеры, делаем следующее:
Обозначим B = A - лямбда_k*E.
Теперь будем возводить В в степень, пока ее ранг не стабилизируется. Если B размера n x n, то число (n - rgB) обозначим def(B) - дефект.
Получим числа t1, t2, .... по формуле
t_i = def(B^ i ).
Теперь t1 - число жордановых клеток, t2-t1 - число жордановых клеток размера >=2, и т.д.
t_k - t_{k-1} - число ж.к. размера >=k.
По-моему, так.
Под жордановой клеткой я понимаю жорданову клетку отвечающую данному собственному значению лямбда_k. Этот алгоритм следует повторить для всех лямбд.

NHGKU2

Сначала находим ранги матриц (A-\lambda_k*E)^m, m=1,2,... Пусть
r_1 = rk(A-\lambda_k*E).
r_2 = rk(A-\lambda_k*E)^2.
r_3 = rk(A-\lambda_k*E)^3.
...
На некотором шаге m окажется, что r_m = n - c_k, т.е. все клетки с \lambda_k обнулились. (Пусть m - минимальное такое число; при возведении в дальнейшем в степень ранг меняться уже не будет.)
Пусть также p_s - количество жордановых клеток размера s, соответствующих \lambda_k.
Тогда имеют имеют место равенства:
p_m = r_{m-1} - r_m,
p_{m-1} + p_m = r_{m-2} - r_{m-1},
p_{m-2} + p_{m-1} + p_m = r_{m-3} - r_{m-2},
....
p_2 + ... + p_m = r_1 - r_2,
p_1 + p_2 + ... + p_m = n - r_1.
Отсюда находим p_1, ..., p_m [исправлено]. Тем самым для \lambda_k число и размеры жордановых клеток восстановлены.
Осталось проделать это для каждого k...

ARTi

точняк, что-то подобное было у нас давно-давно
Робин стопудофф с книжки списал, гад. А самому вспомнить слабо?!

sfmike

>Робин стопудофф с книжки списал, гад.
Нет.

z731a

Робин стопудофф с книжки списал
вряд ли
Отсюда находим r_1, ..., r_m.

ARTi

думаю, тебе не надо применять алгоритм, указанный Робином к матрице 10*10
на небольших матрицах всё гораздо проще

NHGKU2

Да, надо оттуда находить p_1, ..., p_m.
Сорри, ошибся.

ARTi

да это он специально, чтобы такие внимательные читатели заметили его очепятку и подумали, что он нереальный рюх

fjodnik1

Спасибо большое
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: