Построение правильного треугольника через три точки

Lisyarchik

Задача: даны три точки на плоскости. Требуется построить правильный треугольник, так, чтобы эти три точки принадлежали треугольнику (т.е. точка может быть вершиной, может лежать на стороне или продолжении стороны, но по одной точке на каждой стороне причем периметр этого треугольника должен быть максимальным.
Хотя задача сильно смахивает на продвинутый школьный курс планиметрии, я что-то призадумалась Вроде было что-то похожее в Прасолове, но найти не смогла.
Может кто подкинет идей или сталкивался с чем-то похожим? Ну оооооооочень нужно

greekdom

Я так понимаю на каждую сторону по одной точке?

zuzaka

иначе максимальный периметр будет бесконечным

mtk79

Так в чем вопрос: помочь решить эту или в том, видел ли кто-то где-то что-нибудь похожее?

Lisyarchik

Да, конечно, сейчас уточню пост.

greekdom

А стоить надо циркурем и линейкой?

mtk79

Строить надо дифференцированием по параметру

Lisyarchik

Лучше конечно помочь решить эту

Lisyarchik

Это как, подскажешь?

Lisyarchik

А стоить надо циркурем и линейкой?

Не обязательно. Главное - внятный четкий алгоритм

kachokslava

уточни условие задачи, а то мне вообще не понятно, что требуется получить скажем от такой конфигурации:

spiritmc

Две точки на одной стороне, третья --- на другой.
---
"Vyroba umelych lidi, slecno, je tovarni tajemstvi."

zuzaka

а что непонятного?


и множество других вариантов
Или я опять не догоняю?

Lisyarchik

уточни условие задачи

Скажи где, я попробую. Окей, естественно, три данные точки находятся в общем положении. (Точнее, в исходной,глобальной, задаче две точки я фиксирую, а третью добавляю)
Для твоих трех точек можно построить правильный треугольник, удовлетворяющий вышеописанным условиям. Но будет ли он единственным и будет ли у него максимальный периметр?

tinka2302

Второй вариант не катит - две точки на одной прямой.
И еще, я думаю, загвоздка в определении "правильного" треугольника, потому что в варианте (да и, похоже, в любом другом) периметр можно увеличивать до бесконечности.
Мож правильный - это равносторонний?

zuzaka

единственным он точно не будет.

zuzaka

> Второй вариант не катит - две точки на одной прямой.
а) это не возбраняется
б) катит. Сдвинь на малое ε - картина останется той же, а точка уже не будет вершиной
> И еще, я думаю, загвоздка в определении "правильного" треугольника, потому что в варианте (да и, похоже, в любом другом) периметр можно увеличивать до бесконечности.
это как?
> Мож правильный - это равносторонний?
разве это не одно и то же?

Lisyarchik

Мож правильный - это равносторонний?

Ыыы, неужели я настолько забыла школьную планиметрию
Равносторонний, конечно.

mtk79

так в чем проблема: сначала рассмотреть невырожненные варианты (ни одна точка не есть вершина и все точки лежат на разных) ввести какой-то параметр (например, если тр-к (исходный) тупоугольный - то есть одна выделенная вершина (точка х тогда параметром м.б, например, угол между высотой к ребру Х, смежному этой точке х, и прямой, соединяющей точку х с вершиной будущего треугольника, откуда бросалась высота на Х).
Далее - обычная задача поиска экстремума, полученный ответ потом циркулем и линейкой претворить в жизнь (сравнив его с минимумами других семейств)

Lisyarchik

Так, стоп-стоп-стоп
Изначально строится и рассматривается только равносторонний треугольник.
UPD: или что имеется в виду под "исходным треугольником"?

mtk79

"изначальный треугольник" - это исходные три точки

tinka2302

Может имеет смысл попробовать такой вариант - взять одну точку и повращать вокруг нее прямую.
Мне кажется, что если дана прямая и две точки, то равносторонний треугольник из них получится только один.
Если взять в качестве параметра угол наклона вращаемой прямой, то можно найти функцию периметра (или стороны треугольника а дальше искать ее экстремум.
Хотя нет, если точка может лежать и на продолжении стороны, то по прямой и двум точкам (как минимум одна из которых не лежит на прямой) можно построить от 0 до 2-х равносторонних треугольников.

Lisyarchik

Тогда можно процесс построения детальней?
Точка х - вершина тупого угла, так? А как выбирается одна из двух смежных сторон?
Я картинку вроде нарисовала, но продолжаю тупить.

afony

Построение:
Пусть даны точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. На каждой из трех сторон треугольника ABC строим во внешнюю сторону три дуги окружностей с центрами O1, O2, O3, проходящих через точки A и B, B и C, C и A соответственно, и такие, что углы AO1B, BO2C, CO3A равны по 120 градусов. Продолжаем отрезки O1C, O2A и O3B до пересечения с соответствующими дугами (сиреневые отрезки на рисунке). Пусть из этих трех сиреневых отрезков наибольшую длину имеет отрезок BB1. Тогда правильный треугольник наибольшего периметра ограничен (зелеными) прямыми AB1, CB1 и прямой, проходящей через точку B перпендикулярно BB1.

Если прямые O1C, O2A или O3B не пересекают отрезки AB, BC или AC соответственно, то вместо них нужно рассматривать (считать сиреневыми) продолжения соответствующих сторон треугольника ABC, проходящих через C, B или A соответственно.

afony

Кстати, правильный треугольник и равносторонний треугольник - это синонимы

Lisyarchik

Wow
Если не секрет, поделитесь, сами придумали или есть алгоритм?
Сейчас попробую построить, повертеть, понять.
PS: откуда следует максимальность периметра треугольника?

afony

Сам придумал, надеюсь не ошибся. Рассмотрю лишь случай попроще: когда прямые O1C, O2A и O3B пересекают отрезки AB, BC и CA соответственно. Понятно, что вершины правильного треугольника, "описанного" около треугольника ABC лежат соответственно на трех отмеченных черных дугах. Чем больше высота у такого правильного треугольника, тем больше его периметр. Но высота такого треугольника ограничена сверху максимальной из трех длин фиолетовых отрезков (этот факт не слишком сложно доказать причем максимум достигается когда по крайней мере одна из трех точек A, B или C является основанием высоты "описанного" правильного треугольника.

Lisyarchik

Ок, сейчас сама допетрю, если что - буду уточнять по ходу дела, можно?

afony

Разумеется, можно.

afony

У меня закрались некоторые сомнения в правильности . Сейчас еще подумаю...

mtk79

Фактически в том варианте, что я предлагал, это соответствует "экстремуму" при \phi=0, только нужно было грамотно выбрать вершину[сравнивать циркулем длину, конечно легче, чем угол]. Зная построение, можно предложенным способом найти максимум функции Периметр(\phi только ввести масштаб длины (напр., длина стороны АС, если высота падает в В) и доказать алгебраически, а не "из общих соображений"

tinka2302

С построением окружностей - очень грамотный ход, я не додумался.
А насчет
Но высота такого треугольника ограничена сверху максимальной из трех длин фиолетовых отрезков
пытаюсь осознать.
Мне это не кажется очевидным.

afony

Да, тут как раз нужна доделка.

Lisyarchik

Построила аккуратно тот случай, что нарисован.
Не получается.
Т.е. получается либо правильный "большой треугольник" (чьи вершины действительно лежат на дугах окружностей но тогда на этом треугольнике не будут лежать искомые точки. Либо искомые точки принадлежат "большому треугольнику", но он не правильный

afony

Постараюсь теперь не ошибиться.
Итак, пусть даны точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. На каждой из трех сторон треугольника ABC строим во внешнюю сторону три окружности w1, w2, w3 с центрами O1, O2, O3 соответственно (т.е. точки O1 и C лежат по разные стороны от AB, ... проходящие через точки A и B, B и C, C и A соответственно, и такие, что углы AO1B, BO2C, CO3A равны по 120 градусов.
Сейчас я предложу способ отыскания вершины A' "описанного" правильного треугольника A'B'C' с максимальным периметром (как было отмечено раньше, A' лежит на большей из дуг BC окружности w2). Пусть D - середина меньшей из дуг BC окружности w2. Построим на AD как на диаметре окружность w4 с центром O4. Основание H высоты A'H правильного треугольника A'B'C' должно лежать на этой окружности так как A'D - биссектриса, а значит и высота этого треугольника. Среди всех отрезков, содержащих точку D, и с концами на окружностях w2 и w4 соответственно наибольшую длину (равную 2 длинам отрезка O2O4) будет иметь отрезок параллельный прямой O2O4. Поэтому A' является второй точкой пересечения окружности w2 и прямой, проходящей через D и параллельной O2O4.

P.S. То, что две другие вершины B' и C' не попадают на окружности w1 и w3, является деффектом чертежа.

Lisyarchik

Ага, построение тут подходит.
Вопрос такой: как мы выбираем окружность, на которой лежит вершина "большого" треугольника, из которой мы опускаем высоту в H?
Мы выбираем из продолжений отрезков АО2, ВО3, СО1 (до пересечения с окружностями) отрезок, который имет максимальную длину? И тогда, в случае, если это отрезок АО2, мы рассматриваем дуги окружностей, построенных на BC, т.е. стороне, противолежащей А?

afony

Мы можем отыскивать любую из вершин A', B' или C' (на больших дугах окружностей w1, w2 или w3 соответственно) в независимости от длин каких-либо отрезков. Результат при этом должен получиться один и тот же - правильный "описанный" треугольник A'B'C' наибольшего периметра.

Xephon

А если не секрет, то чем такие геометрические чертежи делаются хорошие?

afony

А они хорошие?
Никогда на компе не делал чертежей. Взял Paint - то, что под руку подвернулось.

Lisyarchik

Хорошие геом чертежи отлично делать в автокаде или SketchPad'e.

Sanych

В "живой геометрии" удобно делать хорошие чертежи. Например, мой научный руководитель очень ей доволен. Впрочем, английское её название - Geometer's SketchPad уже до меня назвали .

Xephon

А что это за штука, и где её найти?

Sanych

Это - специальная программа для рисования чертежей со связями, которые потом можно менять. В частности, можно провести прямую именно через точку пересечения, и она это запомнит, и потом прямая будет автоматически меняться при изменении этой самой точки. Не то, чтобы она была уж очень гениальной и понимала всё, что захочешь, но - во всяком случае - обыкновенные геометрические построения получаются на ура даже в демо-версии.

afony

Остается вопрос: где найти эту программу? Есть она у кого-нибудь в сети?

a7137928

У меня есть эта прога, но я не в сети. Я мог бы выложить на вебфайл с работы, но это, наверное, во многих отношениях не очень удобно. Хотя, если совсем припрет, то можно.
Прога реально удобная, если понять, что там к чему, но на это много времени не надо. Возможности у нее ограниченные, но у меня в ней почти игрушки делать получалось =)
: Твой учитель - это часом ли не Владимир Натанович Дубровский?

Xephon

Владимир Натанович, насколько я помню, рекомендовал Sketchpad. Правда это было лет 5 назад.
Да и у 'а научрук не Дубровский
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: