Задача

bvlady552

Помогите пожалуйста с решением такой задачи или хотя бы подскажите идею решению.
Про числа известно, что и что при . Доказать, что все неположительны.
P. S. Я доказал, что . Но как сделать с остальными я не понял.

seregaohota

k=0 там опечатка?
При n=2 всё очевидно. если для a_1 действительно доказал, то из симметрии доказал для a_{n-1}. Перенеси их в правую часть положи n=n-2 (только a_1 вместо a_0) и далее по индукции

Vlad128

Указанные условия равносильны выпуклости ломаной (j,a_j откуда сразу же следует требуемое утверждение.
Формализовать не доказывая выпуклость можно так: зададим ломаную функцией f(x определенной на [0,n] (кусочно-линейная функция). Тогда если a_m > 0, то f(x) будет иметь локальный максимум в некоторой точке 0 < l < n (внутренней, целочисленной). Определение локального максимума противоречит неравенству из условия.

bvlady552

Огромное спасибо за указанное решение. Но это решение я знаю. И хотелось бы решить его каким-либо другим способом.

shpanenoc

Ну перефразируй: рассмотрим НАИБОЛЬШЕЕ из чисел a_i. Если это не первое и не последнее, то у него есть два соседа. Из максимальности и условия получаем, что a_i = a_{i-1} = a_{i+1} и т.д, т.е. все a_i = 0

KaterinKa

Просуммировав основное неравенство по k от u до v, можно показать, что
[math]$$a_u+a_v\leq a_{u-1}+a_{v+1}$$[/math]
Индекс u может принимать значения от 1 до n, а индекс v — от u до n-1.
Просуммировав это неравенство по v от u до n-1, получим
[math]$$(n-u+1)a_u\leq (n-u)a_{u-1}$$[/math] — нечто вроде условия невозрастания a_u при росте u.
Аналогично можно просуммировать неравенство по доступным значениям u и получить что-то вроде условия невозрастания a_v при убывании v.

KaterinKa

Это, похоже, самое простое и изящное решение.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: