Теорема Вейерштрасса (+)

new1991

Подскажите варианты Теоремы Вейерштрасса: F(x) - непрерывная достигает на компакте своего максимума и минимума.
Интересует случай $F(x) \rightarrow \min , x \in D$, где $D$ - выпуклое, замкнутое и ограниченное множество в $L_{\infty}(R)$, $F(x)$ - непрерывный. Существует ли здесь минимум?
И, вообще, кто может постните теоремы существования в задачах оптимального управления.

afony

Если я правильно понял вопрос: Для любого ли линейного непрерывного функционала F(x) на L_\infty(R) на любом выпуклом замкнутом множестве D достигается минимум?, то ответ нет.
Так как существует теорема Джеймса, которая утверждает, что банахово пространство X является рефлексивным тогда и только тогда, когда любой линейный непрерывный функционал достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре; L_\infty(R) рефлексивным не является.

new1991

Да,се так мрачно, а диплом писать надо.
Но все-таки в теореме Джеймса говорится про норму, а это sup, мне нужно существование минимума. Может надо усилить условия на функционал F(x) или на множество D ?

tramal

между минимумом и максимумом разницы нет

afony

Как уже было замечено, что минимум, что максимум -- одно и то же. Т.к. , если достигается максимум в точке x, то минимум достигается в точке -x. Условие на D придумать можно: это компактность, только ничего оригинального в этом не будет. Можно взять рефлексивное пространство, например L_p, 1<p<\infty. Если же нужно оставаться в рамках L_\infty, то можно ограничить набор функционалов, например из L_1. Такие функционалы уже будут достигать как максимума, так и минимума на замкнутом единичном шаре.

new1991

Когда уже написал, то понял, что в линейном случае разницы между max и min нет, но у меня F(x) - НЕлинейный. Теорема Джеймса говорит только, что все плохо, но как это поправить. попробую посмотреть задачу с рефлексивными пространствами L_{p}(R). Да, кстати, есть ли различия между L_{\infty}(R) и L_{\infty}([a;b])?

afony

Что L_\infty(R что L_infty([a,b]) -- одна малина. Если f(x)\in L_\infty(R то f(arctg x)\in L_\infty([-\pi/2, \pi/2] и наоборот.

new1991

А не мог бы сказать про теоремы существования в задачах оптимального управления.
Или литературу указать, поделиться.

afony

К сожалению, я не спец. в оптимальном управлении. То, о чем мы пока говорили относилось к функану.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: