Как считается криволинейный интеграл

Niger

Если можно, подробно :o
int[C] y^2-z^2) dx + (z^2-x^2) dy + (x^2-y^2) dz)
где С- сечение поверхности куба 0<=x,y,z<=a плоскостью x+y+z=3* a/2, пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox
(демидович, №4373)

mtk79

Наоборот, лучше кратко: этот интеграл считается криво.

Suebaby

проблемы с определениями (не знаешь, что такое значение криволинейного интеграла) или с методами решения?

Valeryk

хм, антидемидовичем ещё не научились пользоваться?

lenmas

Формула Стокса

Suebaby

Формула Стокса
нафига? не легче посчитать 3 интеграла по отрезкам по определению?

lenmas

А какая разница? Да и там получается один интеграл, вроде.

Niger

Формула Стокса
и?

lenmas

И это равно некоторому поверхностному интегралу по многоугольнику, сечению куба плоскостью. Так как ротор там простой, а нормаль постоянная, то получится простенький интеграл по сечению, если не ошибаюсь, от постоянной функции.

lenmas

не легче посчитать 3 интеграла по отрезкам по определению?
Кстати, там вроде шестиугольник.

Niger

посчитал в лоб, получилось 9/2 a^3. (разбил интеграл на три "по стенкам" где-то потерял знак :(. Там действительно шестиугольник, уравнения стен вида "y= 3/2a-x, a/2<=x<=a,z=0" и "y=a/2-x, 0<=x<=a/2,z=a", все симметрично.

lenmas

все симметрично.
И это тебе придется честно проверять для каждого из шести отрезков! :grin:
Другого логического объяснения этому я не вижу.

Niger

с методами решения?
:(

Suebaby

с методами решения?
попробуй метод "в лоб": разделить ломанную на отрезки, на каждом отрезке посчитать интеграл по определению.

Niger

это легко доказывается если заметить, что мы, по сути дела, будем иметь криволинейный интеграл, зависящий от параметра в каждом куске.
Вида: х=t, y=3/2a-t. dx=dt,dy=-dt. Кусок с третьим диффеоренциалом равен нулю на каждой из сторон. Собственно, все.
Разве нет?

Suebaby

если хочешь схалявить и считать не на всех стенках, считай на "аналогичных", т.е. если одно звено переходит в другое при замене переменных (типа х->y, y->z, z->x то и значения одинаковые будут.

Niger

в лоб все хорошо, только знак потерял :grin:

lenmas

Слабое утешение. Вместо того, чтобы просто тупо применить формулу Стокса и далее устно посчитать ответ :grin:

Niger

а, ну, и ещё (для другого типа стенок) x=t, y= a/2-t,z=a. Но dz тоже 0. Вот и получается 3* 3/2 a^3

lenmas

х=t, y=3/2a-t
Не на всех участках z=0 ;)

lenmas

Вот и будешь проверять для всех случаев до посинения, да еще и со знаком где-то напутывать :p

Niger

зачем првоерять для всех случаев, если можно просто сложить интеграл первого типа "стенки" с интегралом второго "типа" и умножить на три?
зы: не издевайся, лучше подробно напиши как это проще считается.

lenmas

зы: не издевайся, лучше подробно напиши как это проще считается.
Повторяю: применяем формулу Стокса. Ротор векторного поля считается просто (чему он равен, у меня перед глазами поля нет?). Нормаль к поверхности шестиугольника (1/корень из 3, 1/корень из 3,1/корень из трех). Умножаем этот ротор скалярно на эту нормаль, отсюда получаешь функцию, она равна, если посчитаешь 4/корень из 3*(x+y+z которое равно 2*3*a/корень из 3, то-есть постоянна на шестиугольнике. Поэтому интеграл будет равен этому постоянному значению умножить на площадь шестиугольника со стороной a/корень из 2, а это шесть площадей правильных треугольников со стороной a/корень из 2, то-есть 6*a^2/2*корень из 3/4=3*корень из 3*a^2/4. Умножаем на значение функции, откуда получаем 9a^3/2. :D

Niger

да, ты прав. Только -9/2 a^2 (знак нашелся) Ура ! :cool:
Хотя... надо будет спросить, куда он делся в первом случае :)
по теореме стокса получаем -2*int _int[s] x+y) cos(a) +(x+z)*cos(b)+(y+z)*cos(cds, он преобразуется в -2*sqrt(3)*a int_int ds а дальше все просто.
Мораль: изначально я застрял на направляющих косинусах.
Стыдно.
Посыпаю голову пеплом.

Niger

a^3, вестимо, а не a^2

lenmas

Ага, ротор такой :)

Niger

А знак, как оказалось, потерялся из-за того, что я взял левую тройку осей вместо правой.
Граждане, будьте осторожны! Выбирайте правильные тройки :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: