Интересные задачи по аналитической геометрии

addd

народ! кто знает интересные задачи по сабжу - пишите их тут, плиз

margo11

все что можно построить циркулем и линейкой, можно построить одним только циркулем

margo11

построить правильный 17-угольник

margo11

написать явный вид проективного преобразования переводящего данную параболу в данный эллипс

NHGKU2

Если не срочно, могу на досуге откопать тетрадь с конспектами семинаров Дынникова

fatality

Построим для 2х касающихся друг друга и оси X окружностей радиуса 1/2 с центрами в (0;1/2) и (1;1/2) последовательность окружностей Форда, то есть окружностей, вписанных в криволинейные треугольники, образованные осью X и уже имеющимися окружностями. Всякая ли рациональная точка из (0;1) является точкой касания оси OX для одной из окружностей Форда? Что будет, если сделать задачу асимметричной?

fatality

указать на стандартном торе вращения в R^3 два семейства (попарно пересекающихся или попарно зацепленных) окружностей, не являющихся его параллелями или меридианами.
зы. обе задачки, разумеется, можно решить абсолютно элементарными средствами, а можно, например, с использованием параллелизма Клиффорда на S^3 (вторую) =)

zuzaka

это не имеет отношения к аналитической геометрии

freya83

Задача №1
Что изучает аналитическая гемОЕтрия?

kolyan

помню, меня на экзамене спрашивали
Можно ли разбить R3 на прямые так, что любые две - скрещиваются?

addd

давай - откапывай

stm2515023

Не совсем аналитическая геометрия (хотя то, чему учат на МехМате тоже непонятно почему называется аналитической геометрией...)
Рассмотрим две упаковки R^3 шарами:
1. Возьмем плоскость и положим на нее шары так, что бы каждый касался 6-ти соседей (типа соты). Получися слой. Следующий такой же слой кладем на первый сдвинув так, чтобы получилось как можно плотнее. Ну и так далее.
2. Все то же самое, но изначальный слой не соты, квадратная решетка (то есть центры шаров в узлах квадратной решетки).
Какая упаковка плотнее?
PS: Типа на плоскости первая конечно плотнее, но во второй слои ближе друг к другу.
PPS: Считать не надо:)

stm2515023

А кто такой "тор вращения в R^3"?

stm2515023

О, насчет построений:)
Постройте икосаэдр. Давайте считать, что можно проводить сферы (так же как окружности циркулем прямые по двум и плоскости по трем точкам.
Предыдущую задачку я слышал от С.М. Гусейн-Заде, а эту только что придумал сам. Я ее умею решать исходя из связи между группами симметрий правильных многогранников.

fatality

поверхность бублика круглого сечения, S^1xS^1
ps. по поводу плотных упаковок - нету у тебя ни стыда, ни совести =) следующим шагом будет, вероятно, предложение доказать, что гранецентрированная кубическая - упаковка максимальной плотности

stm2515023

Еще раз говорю, считать не надо:) Правда это подсказка, после которой сразу угадывается ответ.

iri3955

над езмлёй вращается (по всякому) выпуклое тело отбрасывая вертикальную тень.
Средняя площадь тени равна 1. Чему равна площадь поверхности тела?

lenmas

Если совсем по аналитической геометрии - то найти внутри треугольника точку, из которой все три стороны видны под углами 120 градусов. В смысле исследовать, когда это возможно. Нам на семинарах Богатый задавал И долго мучил, пока мы не решили.

cjhnbhjdrf

Есть в трехмерном пространстве 3 взаимно перпендикулярных единичных вектора: 1, 2 и 3.
Доказать, что
x1*y1 + x2*y2 + x3*y3 = 0
y1*z1 + y2*z2 + y3*z3 = 0
z1*x1 + z2*x2 + z3*x3 = 0

NHGKU2

Что тут интересного, это же их попарные скалярные произведения
То, что они равны нулю, прямое следствие их перпендикулярности.

yulial

Это не так, посмотри внимательней.

Alexx13

 
тогда что такое эти x1, ...?
собственно, что такое (арифметическое линейное) трёхмерное пространство? (алгебраически они все изоморфны) - совокупность систем 3 вещественных чисел {(x1,x2,x3)} с соотв. операциями; скалярное произведение определяется стандартно; перпендикулярность по определению означает что скалярное произведение равно 0; это и написано; все написанные равенства "однородны", т.е., при умножении на число сохраняются; значит, нормировка (что векторы единичные) несущественна; или требуется доказать формулу a*b=|a||b|cos fi ?

addd

вот, это то, что надо. спасибо огромное - и еще такого же типа задачи можно?

cjhnbhjdrf

Ну я же написал, что векторы называются 1, 2 и 3, а вовсе не x, y и z.
То есть, вектор 1 имеет координаты {x1, y1, z1} и т. д.
А скалярное произведение тут - это, например
(1*2) = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

Xephon

построить центр данной окружности с помощью одной линейки

zuzaka

Невозможно. Если б это было возможно, то по теореме Понселе-Штайнера любые построения с циркулем и линейкой можно было бы провести только линейкой. Как известно, это не так.
Между прочим, это тоже не имеет отношения к аналитической геометрии.

addd

а ты что молчишь? дал бы задачку сам. на простые темы, но сложную или хотя бы интересную.

iri3955

дана окружность и не пересекающая её прямая. Доказать, что существует точка на плоскости, для которой любой такой отрезок прямой,
что построенная на нём как на диаметре окружность касается данной, виден под одним и тем же углом.

zuzaka

а я не знаю интересных задач в аналит.геометрии. В элементарной знаю, Прасолова посмотри.

addd

видимо, задача интересная, но я условия не поняла...

iri3955

ну, есть окружность w, и прямяя l. раcммотрим A, B на l. построим окружность W(A, B) на AB как на диаметре.
Нас интересуют лишь те отрезки AB, для которых W(A, B) касается w.
Вот. Существует такая точка K, не лежащая на l, что для всех таких AB угол AKB одинаковый.

iri3955

Это кста тоже не очень ангем.

Xephon

Невозможно. Если б это было возможно, то по теореме Понселе-Штайнера любые построения с циркулем и линейкой можно было бы провести только линейкой. Как известно, это не так.
Между прочим, это тоже не имеет отношения к аналитической геометрии.
Ты умеешь доказывать это, не используя теорему Штейнера?
Или может быть теорему сможешь доказать с ходу, ничем не пользуясь?
Несложное доказательство можно указать, если знаешь курс аналитической геометрии (только мехматский, как там у физиков - не знаю...)

zuzaka

несложно доказать, если ты знаком с проекционной геометрией и с операцией инверсии.
насколько несложно - я уже не помню. Но мы это в школе проходили. Хотя ангем мы тоже в школе проходили, в принципе, но вроде методов ангема не требовалось.
а что, у физиков и у мехмата разные ангемы?

iri3955

допустим мы построили линейкой центр. переводим проективкой центр в любую другую точку внутри окружности, оставляя окружность, и...
о, чудо, мы построили, оказывается, эту самую другую точку
А инверсия тут вроде не при чём...

yulial

Любимая задача Миллионщикова: верно ли, что любое аффинное преобразование в R^3 имеет либо неподвижную точку, либо неподвижную прямую?
Говорят, что с успехом прокатывал и положительный, и отрицательный ответ (конечно, если тот и другой был строго математически доказан).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: