диффуры..задачи

v7e7t7e7r

товарищи помогите решить....пжлст (пересдача :( )
1) при каком значении параметра а уравнение y'' + y=cos(ax) имеет хотя бы одно неограниченное на всей числовой прямой решение.
2) Пусть все решения линейной системы y'=Ay, (y принадлежит R ^n) стремятся к 0 при t -> (бесконечность). Будет ли нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво по Ляпунову(ответ обосновать)
3) a)Выяснить типы положений равновесия системы
x'=ln(1+y+y^2)
y'=3-sqrt(x^2+2x+8y+9)
b) какие из положений равновесия устойчивы по Ляпунову.

griz_a

) У однородного уравнения решения - линейные комбинации синусов и косинусов x. Частное решение при a кроме 1 и -1:
[math]$\frac{cos ax}{1-a^2}$[/math]
Поэтому проблемы могут возникнуть только при a=1 (или, что то же самое, a=-1)
При a=1 частное решение [math]$y=t sint/2$[/math]
2) Эта задача на уровне определений. Достаточно посмотреть какую-нибудь книгу по дифурам, где есть параграф про устойчивость. Для устойчивости решения линейной однородной системы достаточно ограниченности ее решений

lenmas

Для устойчивости решения линейной однородной системы достаточно ограниченности ее решений
Тут спрашивается про асимптотическую устойчивость

griz_a

асимптотическая устойчивость из условия следует из устойчивости

lenmas

А ну тогда понятно. Кстати, как из ограниченности любого решения вытекает устойчивость?

griz_a

Если посмотреть квадратную матрицу [math]$X(t): y = X(t)y_0$[/math], то т.к. столбцы ее - это решения, а следовательно они ограничены, то соответствующая норма матрицы тоже ограничена по всем t>0. А тогда автоматически получаем устойчивость, т.к. [math]$||y|| \leq ||X(t)|| ||y_0||$[/math]

lenmas

А, то-есть здесь дело в том, что можно предъявить фундаментальную матрицу. Спасибо за разъяснения! :)

v7e7t7e7r

а 3я

lenmas

Найди точки покоя (правые части равны нулю потом матрицы Якоби в них (тут должны произноситься волшебные слова про линеаризацию) и посмотри какие собственные числа у этой матрицы. По этим числам легко понять типы точек покоя, а по знакам действительных частей - устойчива ли система в этих точках (действительные части должны быть отрицательны для устойчивости).
Насколько я понимаю, точками покоя тут являются (0, 0 (-2, 0 (2,-1 (-4,-1 а матрица Якоби для этих точек должна быть
[math]  $$  \begin{pmatrix}  0&2y+1\\  -\dfrac{x+1}3&-\dfrac43  \end{pmatrix}.  $$  [/math]
Если не ошибаюсь, то в первой точке собственные числа -1/3, -1 (то-есть устойчивый фокус, что ли, называется, когда фазовые линии прижимаются к одному из главных направлений всегда? во второй точке (-2+-корень из 7)/3 (то-есть одно собственное число больше нуля, другое меньше нуля, что соответствует неустойчивому седлу в третьей точке (-2+-корень из 13)/3 (то же самое, что во второй точке в четвертой точке (-2+-iкорень из 5)/3 (то-есть устойчивая такая спиралька, сужающаяся к точке, не помню как это называется, посмотри в книжке какой).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: