Как доказать что у ряда сумма такая

satyana

sum_{i=1}^{\infty} {frac{1}{i^2}} = frac{\pi^2}{6}

stm7537641

См. П.Картье Значения дзета-функции (май 1999) стр 61 и далее http://www.mccme.ru/ium/stcht.html

stm7537641

Кстати еще способ вычисления дзета-функции в четных точках -- см. Серр "Курс Арифметики", стр. 144

vvasilevskiy

Через вычеты, метод Ватсона. Есть в физфаковской книжке по ТФКП, кажется Свешников.

satyana

хочу в качестве тренировки решить самостоятельно через вычеты.
Какой интеграл тогда в комплексных функциях искать? и по какой области?

vvasilevskiy

Я в прошлом году, когда к экзамену готовился, прочитал про твой ряд, а в качестве тренировки считал сумму 1/n^4.
У меня учебника нет под рукой. Я не все помню там функция берется специальная, типа отношения экспоненты к синусу, у ней особые точки на действительной оси в целых числах.

stm7537641

Ну можно применить формулу вычетов типа к такой функции: $\frac{1}{x^2(\exp(2ix\pi)-1)}$ -- так у Картье. Там же указан способ с помощью равенства Парсеваля в теории рядов Фурье. Кстати какой-то красивый метод с помощью вычисления интеграла помню был в задачнике Бугрова-Никольского, но не могу сейчас вспомнить.

stm7537641

Да, кстати еще один способ посчитать этот интеграл с помощью вычетов -- воспользоваться формулой $\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=-\pi \sum_{k=1}^m res_{z=a_k}[f(z)ctg(\pi z)],$ где суммирование справа -- по полюсам рациональной функции $f(z)$ (предполагается, что среди них нет целых чисел).

vital_m

Разложить f(x)=x в ряд Фурье на [-\pi,\pi].

satyana

разложил.
и как это поможет?

NHGKU2

что получилось?
там видимо нужно подставить что-то вроде x=\pi и получишь что-то сводящееся к твоему ряду...
напиши разложение, короче.

satyana

\sum_1^\infty {(-1)^{n+1} \frac{sin nx}{n}}

plugotarenko

Тперь применяешь равенство Парсеваля. И усе посчитано.

vital_m

По-моему надо подставить 1 и получить сумму ряда
S_1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = ......
Искомая сумма S = S_1 + \sum_{по четным} = S_1 +1/4 S
В общем, что-то в этом роде.

satyana

что за равенство персиваля?

plugotarenko

Ты уверен, что правильно разложил?
Откуда взялось \frac{sin nx}{x}?
1/x быть не должно.
Равенство Парсеваля:
Сумма квадратов коэфф ряда фурье равно норме L^2 функции, которую расскладываешь.
только там еще где-то коэфф должен стоять, а где точно не помню.

satyana

я открыл демидович на задачах 2940, 2942. Открыл ответы и разложил
Для |x| всё получилось! Всем спасибо!

satyana

там описка, читай n
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: