Операции над вещественнозначной функцией

ramka

Что-то я торможу. Вот посмотрите: если у меня есть вещественнозначная функция функция вещественного переменного [math]$f(x)$[/math] , которая в окрестности какого-нибудь (неизвестного, вообще говоря) [math]$x_0$[/math] ведет себя как [math]$O(x-x_0)$[/math], то функция [math]$g(x) = f(x)\cdot f(x)$[/math] будет вести себя как [math]$Ox-x_0)^2)$[/math] (ясно, что тут, может быть, найдутся и патологические контрпримеры, но речь сейчас не о них).
Но вот если у меня есть аналогичная [math]$s(x) = Ox-x_0)^2)$[/math] , то на ум не приходит никакого простого способа "сделать" из нее [math]$t(x) = O(x-x_0)$[/math]. Задачу усложняет то, что нельзя делать [math]$\mathrm{eval}(f,x)$[/math] и, тем более, интегрировать/дифференцировать/считать какие-либо интегральные свертки. И еще много чего нельзя, фактически ничего нельзя, кроме простейших операций типа "сложить", "умножить", "поделить", "взять знак в точке", "взять по модулю". Но очень хочется.
PS Если простого ответа нет, то может кто-нибудь умный пояснит, почему такого хотеть нельзя?

incwizitor

так нельзя?
[math]$$t(x) = \sqrt{\mid{s(x)}\mid}$$[/math]

stm7543347

sqrt(abs(s(x не катит?

ramka

И таки нет. Монотонность около [math]$x_0$[/math] важнее, чем близость к кусочной линейности. То есть если есть способ из [math]$s(x)$[/math] получить [math]$t(x) = Ox-x_0)^n)$[/math] с каким-нибудь нечетным натуральным [math]$n$[/math] — это будет победа.

stm7543347

Ну тогда sgn(s(x * sqrt(abs(s(x нэ?

ramka

Ну тогда sgn(s(x * sqrt(abs(s(x нэ?
Ну так [math]$s(x)$[/math] квадратична около [math]$x_0$[/math], и, следовательно, [math]$\mathrm{sgn}(s(x$[/math] будет там постоянен.

incwizitor

как-то неясно вы сформулировали задачу
можно подробнее?
к примеру, что вы понимаете под
простого способа "сделать" из нее
в чем заключается простота? почему умножение для вас просто, а взятие корня - непросто?

ramka

как-то неясно вы сформулировали задачу
можно подробнее?
к примеру, что вы понимаете под

простого способа "сделать" из нее
в чем заключается простота? почему умножение для вас просто, а взятие корня - непросто?
Простите, действительно не очень понятно получилось. Под простотой здесь понимается простота реализации аналогового электронного вычислителя, который будет это делать.

incwizitor

а такой вариант почему не устраивает?
[math]$$t(x) = s(x)$$[/math]

ramka

а такой вариант почему не устраивает?
[math]$$t(x) = s(x)$$[/math]
На самом деле нужно, чтобы [math]$t(x)$[/math]
1. Была равна нулю в [math]$x_0$[/math]
2. Была монотонна в как можно большей окрестности [math]$x_0$[/math]
В постах выше были приведены некоторые частные ситуации, когда эти требования удовлетворяются. Ослаблять два вышеприведенных условия, к сожалению, уже нельзя.

incwizitor

На самом деле нужно, чтобы t(x)
1. Была равна нулю в x_0
2. Была монотонна в как можно большей окрестности x_0
а какая должна быть связь между s и t ?
является ли s монотонной ? равна ли она нулю в x_0 ?
вы бы привели более ясный пример с g = f * f, тогда стала бы яснее задача
возможно, мы по-разному воспринимаем запись [math]$$O(x-x_0)$$[/math]

ramka

возможно, мы по-разному воспринимаем запись [math]$$O(x-x_0)$$[/math]
Очень возможно, я в последний раз учил математику так давно, что сейчас ее знаний не хватает даже на то, чтобы посчитать, сколько лет назад это было (:
Когда я говорю, что [math]$f(x)$[/math] ведет себя в [math]$x_0$[/math] , как [math]$Ox-x_0)^n)$[/math], где [math]$n$[/math] — натуральное число, я имею в виду, что [math]$f(x)$[/math] может быть представлено рядом Тейлора вида [math]$f(x)=\sum_{m=n}^{\infty} a_m (x-x_0)^m $[/math] . Если так писать не принято — извините, что вводил в заблуждение.

Vlad128

почему не подходит t(x) = x - x_0?

ramka

почему не подходит t(x) = x - x_0?
Внимательнее читаем первый пост: потому что [math]$x_0$[/math] неизвестно. Тем не менее, с f и g возведение в квадрат срабатывает и без знания [math]$x_0$[/math].
Кстати, спасибо, что напомнили: мы действительно знаем [math]$x$[/math], о чем я упомянуть забыл.

stm7543347

[math]$\mathrm{sgn}(s(x$[/math] будет там постоянен.
А нельзя сразу все свойства s(x) изложить? Потому что вот это первый раз прозвучало.
ЗЫ. [math]$\mathrm{sgn}(x-x_0)\cdot\sqrt[]{\mid s(x)\mid}$[/math], я так понимаю, тоже не подходит.

ramka

А нельзя сразу все свойства s(x) изложить?

Vlad128

t(x) = (s(x+d) - s(x/d
не подходит?

blackout

Я так понял, что идеальный ответ это [math]$a_m(x-x_0)$[/math] ?

ramka

t(x) = (s(x+d) - s(x/d
не подходит?
Проблема в том, что преобразование должно реализовывать аналоговое электронное устройство, которое реально имеет на входе значения s и x, и не может управлять ни тем, ни другим. Есть еще знание о том, что s зависит от x примерно так, как показано выше, но точный вид зависимости и значение [math]$x_0$[/math] может от раза к разу меняться, а устройство должно продолжать работать.
Такие дела.

ramka

Я так понял, что идеальный ответ это [math]$a_m(x-x_0)$[/math] ?
Именно так.

ramka

Проблема в том, что преобразование должно реализовывать аналоговое электронное устройство, которое реально имеет на входе значения s и x, и не может управлять ни тем, ни другим. Есть еще знание о том, что s зависит от x примерно так, как показано выше, но точный вид зависимости и значение [math]$x_0$[/math] может от раза к разу меняться, а устройство должно продолжать работать.
Такие дела.
О чорт, похоже такое в принципе невозможно. Теперь кое-кто нехило попадет на бабки. :(
Всем кто предлагал варианты — спасибо, тема более неактуальна.

incwizitor

похоже такое в принципе невозможно
правильно сформулированный вопрос - это уже половина ответа

ramka

правильно сформулированный вопрос - это уже половина ответа
Ну вот и я про то же. :cheers:
Спасибо, что помогли правильно сформулировать!

Vlad128

Проблема в том, что преобразование должно реализовывать аналоговое электронное устройство, которое реально имеет на входе значения s и x, и не может управлять ни тем, ни другим. Есть еще знание о том, что s зависит от x примерно так, как показано выше, но точный вид зависимости и значение [math]$x_0$[/math] может от раза к разу меняться, а устройство должно продолжать работать.
апну-ка я тему. Я тут подумал, а точно не подходит мой последний вариант через эмуляцию производной? Для это вычисления во всех точках нужна схема с задержкой в несколько шагов. На самом деле, какая там дискретизация? Если не очень большая, то там и единичной задержки достаточно. Т.е. t_j = (s_j - s_{j-1})/d_j, где d = (x_j - x_{j-1}).

ramka

Дискретизации нет, схема полностью аналоговая. В общем-то, можно, наверное, было бы вывернуться через дифференцирование s и x по времени и деление, но в моем случае неизбежны ситуации, когда dx/dt фактически равно нолю, и любой шум s превратится на выходе в непоправимую беду.
Кстати, если вдруг кто-то заинтересовался вопросом о том, чего и как можно добиться аналоговой обработкой, рекомендую обратить внимание на доступную в интернете книгу "Коломбет Е. А. Микроэлектронные средства обработки аналоговых сигналов". Там все изложено ясно и по-существу, с примерами схем.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: