Треугольник и теорема Уитни

lena1978

треугольник - гладкое одномерное многообразие. по теореме уитни оно диффеоморфно вкладывается в пространство трех измерений. и что будет образом? треугольник?

BSCurt

Одномерно, треугольник? А оно гладкое? - в смысле если как многообразие с краем, то граница кусочногладкая, короче, не важно, очевидно что треугольник диффеоморфен другому треугольнику в трехмерном пространстве, да и в двух мерном, да и вообще наверно все одномерные многообразия вкладываются в двумерное пространство гладко, переформулируй вопрос.

lena1978

треугольник именно как край плоского треугольника. замкнутая ломаная. гладкое одномерное многообразие.
как-то я не уверен, что оно в плоскость гладко в обе стороны вкладывается.

blackout

как-то я не уверен, что оно в плоскость гладко вкладывается.
Проверь, что функции x1(x,y) = x, y1(x,y) = y, z1(x,y) = 0 гладкие и будет тебе счастье (x, y координаты в R2, x1, y1, z1 в R3). Да, и треугольник, естественно, не гладкое многообразие.

lena1978

Да, и треугольник, естественно не гладкое многообразие.
почему?

BSCurt

То о чем ты говоришь, называется – окружность, как иначе можно на границе треугольника можно вести структуру гладкого многообразия.

blackout

Если не веришь, то построй на треугольнике атлас, найди функции перехода и проверь, что они не дифференцируемы даже один раз, не то что бесконечное число раз.
Или можешь попробовать задать кусок треугольника с углом как график гладкой функции y = f(x).

lena1978

ну как, возьму твою окружность, да и сделаю углы там, где только одна карта покрывает. стыки карт останутся гладкими, вот тебе и гладкое многообразие.

lena1978

x = (t + |t|)^2
y = (|t| - t)^2
вот тебе и гладкая функция

BSCurt

Короче, твой вопрос в правильной формулировке звучит так дано гладкое многообразие гомеоморфное границе треугольника (это многообразие является по ходу есть обычная окружностью по теореме Уитни окружность диффеоморфно вкладывается в трехмерное пространство, вопрос, что будет образом вложения окружности в R^3?

lena1978

нет, я спрашиваю про треугольник, а не окружность. не надо мне подсовывать правильные формулировки.

blackout

нет, я спрашиваю про треугольник
Давай тогда свое определение гладкого многообразия.

lena1978

как в википедии

blackout

Ок, правильная формулировка такая - треугольник на плоскости не является гладким вложением в плоскость.

blackout

Треугольник сам по себе не существует, он всегда вложен в Rn, и в Rn он не является гладким подмногообразием.

lena1978

мда. я кажется врубился. треугольник сам по себе - это окружность. а треугольный треугольник в Rn - это ее хреновое вложение.

blackout

Да, я тоже так думаю.

incwizitor

треугольник сам по себе - это окружность
а можно в целях расширения кругозора пояснить это высказывание? и как треугольник может быть гладким многообразием?
спасибо
зы: о квадратах, которые являются окружностями из-за особой метрики, я слышал, но в данном случае вроде везде евклидова метрика?

blackout

и как треугольник может быть гладким многообразием?
Тут небольшая путаница. Можно сказать, что треугольник как множество является гладким многообразием, но это бесполезное утверждение, т.к. любое мноогообразие с континуумом точек как множество равно отрезку.
А можно говорить о том, что треугольник на плоскости (гладком многообразии) является гладким подмногообразием или образом гладкого вложения в плоскость, что неверно.

blackout

а можно в целях расширения кругозора пояснить это высказывание?
Треугльник гомеоморфен окружности, поэтому если у тебя есть атлас на окружности то у тебя есть такой-же атлас на треугольнике. Поэтому многообразие окружность можно было-бы называть треугольником, если бы не тот факт что треугольник, как фигура на плоскости, не является образом гладкого вложения многообразия окружность в плоскость; а окружность, как фигура на плоскости, является.

incwizitor

Можно сказать, что треугольник как множество является гладким многообразием
откуда гладкость в вершинах треугольника, никак не могу понять
вы пытаетесь рассмотреть множество без метрики как многообразие? это возможно? как там задается окрестность точки?
вот как я понимаю, что окружность - гладкое одномерное (?) многообразие
1) евклидова метрики в объемлющем пространстве индуцирует соответствующую метрику на окружности
2) у каждой точки можно выбрать маленькую окрестность ( дугу которая гладкой функцией может быть переведено в прямую
аналогичные рассуждения я не могу применить к треугольнику

lenmas

вы пытаетесь рассмотреть множество без метрики как многообразие? это возможно? как там задается окрестность точки?
Что тебе не нравится? Треугольник (с индуцированной метрикой) --- топологическое пространство, удовлетворяет всем аксиомам многообразия.

blackout

вы пытаетесь рассмотреть множество без метрики как многообразие? это возможно?
Многообразие это топологическое пространство с атласом. Метрика тут ни при чем.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: