Дифференциальное уравнение на отрезке

semute

Пусть у нас задано какое-нибудь дифференциальное уравнение на отрезке
y'=f(x,y); 0<=x<=T
как понимать производную в граничных точках отрезка? как одностороннюю? или надо понимать, что мы должны найти такую функцию, которая определена так, чтобы у нее существовала производная на [0;T] (т. е. функция должна существовать чуть левее 0 и чуть правее T по крайней мере; само уравнение левее 0 и правее T может не выполняться, но сам факт определения там функции должен иметь место)
На самом деле изначально этот вопрос возник про уравнение теплопроводности u_t=u_xx; 0<x<l, o<t<=T
при t=T - что за производная u_t имеется в виду? просто если поставлена начально-краевая задача, то вопрос: надо ли искать функцию u(x,t которая по крайней мере определена чуть правее T (чтобы у нее существовала производная T) или можно искать функцию, которая вообще не определена вне [0;T], но у которой существует лишь левосторонняя производная u_t в точке T?
А может, я вообще чего-то не понимаю?

NHGKU2

Мне кажется, что в данном случае это, в общем-то, одно и то же: существование односторонней производной в точках 0, T и определенность функции на [-epsilon, T + epsilon]. Т.к. если есть односторонняя производная, то не составит труда функцию чуть-чуть продолжить без ущерба для гладкости и прочих свойств, а если же она определена в окрестности, то в любом случае есть односторонняя производная.
Хотя лучше, наверное, считать функцию определенной в окрестности (по моему скромному мнению).

griz_a

Везде в твоем дифуре производная понимается как предел по точкам, лежащим в области определения дифура. Поэтому тебе надо найти решение на [0,T], а не на [-delta,T+delta]

semute

дело даже вот в чём:
формально решением начально-краевой задачи считается функция, которая напрерывна в 0<=x<=l; o<=t<=T и которая удовлетворяет условиям задачи (т. е. в частности удовлетворяет уравнению точке T)
Тогда можно ли решением считать функцию, которая определена во всей плоскости переменных (x,t) так, чтобы все условия были выполнены, а уравнение в точке T выполнялось в смысле левосторонней производной (а просто производной не существовало, сама функция вне прямоугольника 0<=x<=l; 0<=t<=T может быть чем угодно)
или это не будет решением?
(т. е. да, я согласен, что если мы отыскали решение в смысле левосторонней производной, то можно вне прямоугольника доопределить функцию так, чтобы была и обычная производная; и наоборот. Но если уже задано решение, о котором я написал выше, то формально оно является решением нашей начально-краевой задачи?)

semute

т. е. в точке T это обычная левосторонняя производная?

griz_a

Формально решением краевой задачи является функция, определенная на [0,T], а у тебя на другом множестве. Ее ограничение на [0,T] и будет решением. Иначе не было бы теорем единственности решения и прочего, прочего

griz_a

Ну если ты берешь предел по точкам [0,T], то что же еще у тебя получится?

NHGKU2

Но если уже задано решение, о котором я написал выше, то формально оно является решением нашей начально-краевой задачи?
Является. Честно сказать, не вижу особого смысла заниматься подобным формализмом

semute

Почему функция должна быть определена лишь на [0;T]? Мы должны найти КАКУЮ-ТО функцию, определенную где угодно, но так, чтобы на [0;T] она удовлетворяла дифуру (ну и там начальные условия выполнены например). Теорема единственности формулируется так, что если u1 и u2 удовлетворяют задаче, то они тождественно равны на [0;T], а вне - могут различаться.
Представим простейший дифур y'=0 на отрезке [0;1]
Тогда если мы зададим функцию f(x)=0 при x принадлежащем [0;1] и -7 при не принажлежащем [0;1], то возможны 2 случая:
1) если брать обычное определение производной функции из матана, то в точка 0 и 1 производная не существует, поэтому дифур для такой функции f(x) выполняется только на интервале (0;1 но не на отрезке
2) если брать предел по точкам [0;1], то да, всё существует и проблем нет.
Также мы можем брать функцию, определенную только на [0;1] (и равную константе). Тогда здесь просто по определению производной предел берется по точкам отрезка [0;1] и тоже всё хорошо.

griz_a

Решение должно удовлетворять уравнению на нужном множестве, что и обеспечивает то, что производные берутся как предел только по точкам этого множества

semute

итак, для задачи y'(x)=0 на 0<=x<=T функция
y(x)=7 при 0<=x<=T
y(x)=6 при x<0 или x>T

является решением?
(несмотря на то, что вообще говоря если брать обычное определение производной, то на границах отрезка её просто не существует)

griz_a

Да. Обычное определение производной в точке ты имеешь ввиду? Есть еще производная в точке по множеству и предел в точке по множеству, они-то тут и имеются ввиду, видимо

semute

ок, просто в теории дифуров и урматов/урчпов (во многих книгах) я не нашел такой оговорки, что производную мы берем по множеству. Или оговорки, что мы ищем функцию, заданную ТОЛЬКО на рассматриваемом множестве (более того, всё свидетельствует о том, что функция может быть задана где угодно, лишь бы на рассматриваемом множестве она удовлетворяла требованиям задачи).
: (

griz_a

Нам говорили
где производная на концах понимается как односторонняя
функция, непрерывно-дифференцирумая на интервале, непрерывная на замыкании и имеющая односторонние производные на концах

semute

это говорили в курсе дифуров/урматов?

griz_a

на семинарах по этим предметам, если не ошибаюсь

semute

ок, спасибо, буду так и считать

vovatroff

Опять контрпример напрашивается: берем f(x)=x*sin(1/x) на (0,1) и сочиняем для нее дифур
первого порядка, которому она удовлетворяет (дифференцировать ее влом, главное - идея).
Решение непрерывно продолжается в нуль. Но производная предела не имеет.
Что вы будете понимать под решением на всем отрезке [0,1] ?
Насколько я понимаю, классические дифуры решают именно в областях, т.е. на открытых
множествах, а вот будут ли решения непрерывно продолжаемы (вместе с нужными
производными) на их границы - вопрос тонкий. Для его решения нужно перейти к обобщенным
производным и изучать следы решений в смысле Соболева, например.

griz_a

Опять контрпример напрашивается: берем f(x)=x*sin(1/x) на (0,1) и сочиняем для нее дифур
первого порядка, которому она удовлетворяет (дифференцировать ее влом, главное - идея).
Решение непрерывно продолжается в нуль. Но производная предела не имеет.
Что вы будете понимать под решением на всем отрезке [0,1] ?

Это к чему вообще?
Насколько я понимаю, классические дифуры решают именно в областях, т.е. на открытых
множествах, а вот будут ли решения непрерывно продолжаемы (вместе с нужными
производными) на их границы - вопрос тонкий.

По времени нет, время чаще всего берется на отрезках. А про продолжаемость на границы он ничего не спрашивал, у него изначально дифур на отрезке. Он спрашивал, как понимать такие дифуры на концах

lenmas

Но производная предела не имеет.
тебе говорил об односторонней производной, а не о пределе производной. Немного разные понятия. Из второго первое вытекает, но не наоборот. Так что твой пример не подходит.
PS Кстати, в среднем предел производной в нуле у xsin(1/x) все-таки существует.

vovatroff

Границы у отрезка и есть концы, уж извините за занудство.
Так что именно про то я и толкую.
Контрпример был к тому, что иногда решение дифура может
непрерывно продолжаться на границу (даже задачу Коши можно
там поставить но производная решения может при этом не иметь
даже предела. Такой дифур можно рассматривать только на
интервале.

griz_a

Внимательно прочитай тред. А теперь скажи, причем здесь то, что ты написал?

lenmas

Понятие дифференцируемости можно распространить и на точки границы области определения. Так что принципиального отличия отрезка от многомерной области нет. Разве что частные производные не определишь просто так (например, если область имеет загибающийся "хвостик").

vovatroff

Не согласен. Односторонней производной у этого контрпримера
тоже нет, раз нет предела производной, однако решение
непрерывно продолжается на границу отрезка.
Односторонние производные - убогая концепция, не допускающая
многомерных обобщений. В отличие от предела производной на
границе, что изучал еще Ляпунов.
Кстати, контрпример можно улучшить, если взять exp(-1/x)*sin(1/x).
Бесконечно дифференцируемая в нуле справа.

vovatroff

Пусть у нас задано какое-нибудь дифференциальное уравнение на отрезке
y'=f(x,y); 0<=x<=T
как понимать производную в граничных точках отрезка? как одностороннюю?
По-моему, тред про это.

griz_a

И какая связь с возможностью продолжения решения в области на границу, если решение изначально ищется в замкнутом множестве?

semute

Я понял, что ты имеешь в виду, но вопрос был такой: если односторонняя производная существует, а обычной производной не существует, то является ли это решением?
(кстати, если функция определена только на отрезке, то там существует обычная производная, а не одноторонняя!)

vovatroff

Трам-тарарам, я про то и толкую, что иногда его В ПРИНЦИПЕ НЕЛЬЗЯ искать
на всем отрезке, а можно только на интервале.
Вы слишком хорошо думаете о решениях дифуров. Так сказать, на
уровне физического смысла. В хорошем смысле этого слова.
Любой физик мой контрпример зарубит, сказав, что нефиг флудить
паталогическими примерами. Но математика наука строгая, она
специально такие ситуации изучает. Часто они приводят к плодотворным
концепциям. Пример - дельта-функция.

vovatroff

Да, конечно.

semute

>Да, конечно.
Вот, на самом деле не всем это очевидно.
Я провел соц. опрос у своих знакомых, задав им задачу:
будет ли функция
y(x)=7 на [0;T] и y(x)=6 вне [0;T] (это одна кусочно-постоянная функция)
решением задачи y'(x)=0 на [0;T]?
большинство мне ответили, что не будет, ибо на концах производной вообще не существует.

lenmas

Односторонние производные - убогая концепция, не допускающая
многомерных обобщений.
Почему же, допускает. Иначе бы были странными записи типа f\in D(\overline{G}). А такие есть, хоть и редко используются (напиши обычное определение дифференцируемости, только требуй чтобы точки из этого определения лежали в области). То-есть дифференцируемость по множеству, по сути дела. Например, есть понятие аппроксимативной дифференцируемости функций двух переменных (известная теорема Степанова утверждает, что если функция имеет почти всюду все частные производные, то она аппроксимативно дифференцируема по совокупности переменных в почти каждой точке области).

griz_a

я про то и толкую, что иногда его В ПРИНЦИПЕ НЕЛЬЗЯ искать
на всем отрезке, а можно только на интервале.

И что? Ну да, решение на отрезке не всегда существует, что из этого то? Какое отношение это имеет к тематике этого треда?

Вы слишком хорошо думаете о решениях дифуров. Так сказать, на
уровне физического смысла. В хорошем смысле этого слова.

И откуда же этот глубокомысленный вывод?
Любой физик мой контрпример зарубит, сказав, что нефиг флудить
паталогическими примерами. Но математика наука строгая, она
специально такие ситуации изучает. Часто они приводят к плодотворным
концепциям. Пример - дельта-функция.

Дирак, по-моему, был не абстрактным математиком как раз-то.
Не очень понятно, к чему эта лекция о математике?

vovatroff

Объясните им, что она не будет решением этой задачи на всей оси, и они поймут.

lenmas

Вот, на самом деле не всем это очевидно.
Я провел соц. опрос у своих знакомых, задав им задачу:
будет ли функция
y(x)=7 на [0;T] и y(x)=6 вне [0;T] (это одна кусочно-постоянная функция)
решением задачи y'(x)=0 на [0;T]?
большинство мне ответили, что не будет, ибо на концах производной вообще не существует.
Тебя окончательно запутали. Твой пример - решение диффура. Производные на концах понимай как односторонние. Участники этого треда отошли уже куда-то в высшие материи. Надо быть проще, и люди к ним потянутся.

vovatroff

Ладно, я высказал то, что думал, полемику искусственно раздувать не вижу смысла.
Автор треда меня понял, и хорошо.

vovatroff

Простите, поздно заметил.
Так можно и дифференцируемость в секторе углом 60 градусов определить, и
в секторе углом 120 градусов. И потом доказывать, что из дифференцируемости
во втором из секторов следует дифференцируемость в первом. Но все что-то
не то получается.
Отношение порядка на оси есть, а на плоскости и выше - нет. В этом проблема,
на мой взгляд.

semute

нет, как раз тут дело не во всей оси, а в отрезке
мы ищем решение в том числе и на концах отрезка (помимо его внутренности а в них приведенная функция не является решением (если под производными понимать не односторонние производные, а обычные)

vovatroff

Для того, чтобы понимать как обычные, функция должна быть задана в некоторой окрестности
этого отрезка. Она же задана только на самом отрезке.
Простой пример: преобразуйте отрезок в бесконечную полуось. (Например, x -> 1/x)
Доопределите по непрерывности в бесконечности.
И что тогда будет пониматься под производной в бесконечности? Двусторонняя?

semute

а приведенная функция и определена не только на отрезке, а вообще на всей прямой.
я уже писал: ни в одной книге не говорится, что если мы ищем функцию, заданную только на отрезке [0;T] (и не определенную вне него). формулировки теорем единственности скорее показывают обратное: они говорят, что если f и g удовлетворяют нашей задачи, то f=g на [0;T]
(подчеркивается, что именно на [0;T])

vovatroff

Ну так тогда она не есть решение - но опять-же на всей оси.
Мой изначальный резон в том и состоял, что концепция
решения дифура на замкнутом множестве порочна.
Дифур надо решать в области (в интервале). Скажем,
все аналитические решения именно в области и бывают,
а на границе, если есть особенность - уже нет.
На самом деле, так легко дойти и до обобщенных решений.
Между прочим, у Владимирова в курсе урматов показано,
что решение задачи Коши для уравнения типа теплопроводности
при определенных условиях эквивалентно
обобщенному решению уравнения, к правой части которого
добавлена дельта-функция, описывающие "начальный"
импульсный источник тепла.

semute

т. е. получается такая функция не есть решение, а функция, заданная только на [0;T] - есть? как-то нелогично немного, потому что раз мы рассматриваем только значения функции на отреке, то мы могли бы обрубить стальную облать определения и от первой функции перейти ко второй

vovatroff

Отрубить легко, приставить труднее, как известно.
Поэтому если что-то является решением на более широком
сегменте, то оно является и решением на подмножестве
этого сегмента, но не наоборот.

semute

ну вот, это второе мнение
а другие люди говорят, что раз дифур задан на [0;T], то и производная берется по множеству [0;T] (тогда та функция, о которой я говорил выше, будет решением, так как производная в точке T по множеству [0;T] - это левосторонняя произвоная просто-напросто).
И это более логично
(Когда мы ищем только решение на отрезке [0;T], то что вне его - нас никак не интересует, вплоть до того, что функция там может быть просто неопределена или определена как угодно; и было бы неправильно, если в каких-то случаях задание функция, заданная одним образом вне отрезка, являлась бы решением, а заданная другим - не являлась)

vovatroff

Послушайте, я вот не поленился дома порыться в учебниках по дифурам и урматам.
Понтрягин - лекции по ОДУ, Владимиров - УрМФ.

И вот: все нормальные авторы ВСЕГДА ищут решения дифуров только на интервалах и в
областях. Про границы думают только если надо ставить начальные или краевые задачи.
Нигде не говорится фраз типа "решением этого дифура на отрезке ... является ...",
а говорятся фразы "решение этого дифура на интервале ... "
У Владимирова: классическим решением задачи Коши для уравнения теплопроводности
в полупространстве t>0 (имеется в виду четырехмерное полупространство x,y,z,t)
является функция класса C^2 (t>0 - ! ) и C(t>=0 удовлетворяющая этому уравнению
при t>0 (!) и начальным данным Коши при t=0.
Я именно об этом говорил выше.
Откуда у вас вообще взялась ваша проблема? Поделитесь.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: