Чем гильбертово пространство лучше банахового?

Lene81

Кто-нибудь может простым языком объяснить, какие преимущества есть у гильбертова пространства над банаховым? Я обгуглился уже, а выковать суть пока не смог. Оба пространства полны, в обоих есть сходимость по норме и можно задавать вопрос "какая последовательность векторов лучше приближает данный?". В чем же суть различия.
Нет, к аксиомам меня посылать не надо, мне бы пример, желательно из матфизики, откуда понятно, что именно лучше/проще.
Заранее спасибо!

shpanenoc

Я, конечно, не мехмат, но мое представление такое:
Наличие скалярного произведения позволяет всякие приятные штуки, вроде ортогональных базисов и ортогональных проекций на конечномерные подпространства.
Ну и факт, что сопряженное пространство к нему изоморфно ему самому. То есть сопряженный оператор к оператору в Гильбертовом пространстве - это оператор в этом же пространстве. Соответственно, бывают самосопряженные операторы и ассоциированные с ними приятности.

tester1

Кто-нибудь может простым языком объяснить, какие преимущества есть у гильбертова пространства над банаховым?
Чтобы можно было ответить на этот вопрос квалифицированно, вопрос сначала надо уточнить. С какой точки зрения лучше? Ибо с некоторых - без разницы, с некоторых - лучше, с некоторых - хуже.
Если вообще, то выше Зрути дал ответ, в котором не вижу ничего неправильного.

Lene81

Чтобы можно было ответить на этот вопрос квалифицированно, вопрос сначала надо уточнить.
В прямом. Скажем, есть уравнение Шредингера, решения которого живут в гильбертовом пространстве и (квантовое) уравнение Лиувилля, решения которого — матрица плотности — элемент банахового. Требуется привести аргументы, почему картина с волновыми функциями "лучше", чем с матрицами плотности.
Нашел утверждения которые мне непонятны: например, то, что конечномерные аппроксимации в гильбертовом пространстве "проще", или даже то, что в банаховом они вообще невозможны. С вычислительной точки зрения что все это может означать?

BSCurt

Ну конечно мерные аппроксимации в ГП это же просто коэффициенты Фурье, а про аппроксимации в банаховом надо искать минимум расстояния до подпространства, что-то не могу придумать сходу подводные камни, но действительно надо подумать почему этот минимум существует в смысле точка не убегает на бесконечность. Ну а с вычислительной точки зрения коэффициенты Фурье искать - это интегралы посчитать, а минимум в банаховом непойми что, ну в смысле минимум функции p(y) = ||x-y|| (где x приблежаемое, а у то чем приблежают) на этом пространстве.

stm8853410

Неймлес_Ван дело говорит.
Пусть тебе нужно приблизить на отрезке функцию полиномом 9-й степени так, чтобы минимизировать интеграл квадрата ошибки. Это то же самое, что в гильбертовом пространстве найти расстояние до десятимерного подпространства. И ты можешь получить абсолютно точный точный ответ, посчитав десять интегралов и выполнив несложные линейноагебраические процедуры.
А если нужно минимизировать, допустим, максимум отклонения на отрезке, или ещё какую величину, то всё сильно сложнее, потому что это задача аппроксимации в банаховом пространстве.

stm8853410

Минимум всегда существует, но в некоторых банаховых пространствах нормы проекторов на конечномерные не ограничены.

Lene81

Минимум всегда существует, но в некоторых банаховых пространствах нормы проекторов на конечномерные не ограничены.
О-о-о, с этого места поподробнее!
На самом деле мы вот с какой проблемой столкнулись: именно с построением регулярных конечномерных приближений в банаховых пространствах. Вкратце, проблема такова: есть такой time-dependent variational principle, который позволяет строить "приближенные уравнения движения" в пространстве функций, определенных конечным набором параметров. А именно, он гласит, что
[math]$\left\langle \delta \Psi | i\hbar\partial/\partial t - \hat H | \Psi \right\rangle  =0$[/math] для всех вариаций функций в этом пространства параметров. Так вот, если под [math]$\Psi$[/math] понимать волновую функцию, то всё хорошо: получившиеся уравнения движения, например, сохраняют энергию. Если же теперь всё то же самое написать для матриц плотности (перешли в банахово пространство то сразу теряем сохранение энергии, точнее, оно восстанавливается только в пределе полного базиса. Фактически, мы пытаемся вывести это наблюдение из фундаментальных свойств (точнее, их различий) гильбертовых и банаховых пространств, но поскольку мы не специалисты...
Я был бы очень признателен так же за ссылки на теоремы.

Sergey79

Чтобы можно было ответить на этот вопрос квалифицированно, вопрос сначала надо уточнить. С какой точки зрения лучше? Ибо с некоторых - без разницы, с некоторых - лучше, с некоторых - хуже.
А в принципе посовременнее и получше пространства придумали какие-нибудь?

seregaohota

топологические, когда не только скалярного произведения как в Гильбертовом, но и нормы как в Банаховом т.е. расстояния, согласованного с линейной структурой пространства нет, говорят в окрестности Большого взрыва применяют
но там вообще жесть (если не метризуемы)

LEV16101951

но в некоторых банаховых пространствах нормы проекторов на конечномерные не ограничены.
 Что ты имеешь в виду? То, что бывают неограниченные проекторы или что есть пример конечномерного подпространства, все проекторы на которое неограничены? Второе неверно: если [math]$G   \subset E$[/math] — конечномерное подпространство, [math]$g_1, \dots, g_n$[/math] — его базис, то топологическим дополнением к [math]$G$[/math] будет подпространство [math]$\cap_i \ker f_i$[/math], где [math]$f_i$[/math] — непрерывные линейные функционалы, для которых [math]$f_i(g_i) \neq 0$[/math].
Кстати, в копилку отличий банаховых и гильбертовых пространств (частично уже упоминалось в предыдущих постах): если в некотором банаховом пространстве все замкнутые подпространства дополняемы, то норма в нём эквивалентна гильбертовой, а в по-настоящему банаховом пространстве обязательно есть (бесконченомерное) подпространство, которое не имеет прямого дополнения.

BSCurt

Ещё есть пространства Фреше.

stm8853410

Я про то, что не всегда можно найти такую константу C, что для любого конечномерного пространства есть проектор на него с нормой, меньшей C.

tester1

Кстати, в копилку отличий банаховых и гильбертовых пространств (частично уже упоминалось в предыдущих постах): если в некотором банаховом пространстве все замкнутые подпространства дополняемы, то норма в нём эквивалентна гильбертовой, а в по-настоящему банаховом пространстве обязательно есть (бесконченомерное) подпространство, которое не имеет прямого дополнения.
Прикольно, не знал.
Кстати, Настя Васильева спецкурс по геометрии банаховых пространств уже который год читает, всё слюнки текут на него походить, да всё не нахожу времени. Если что, вот программа нагуглилась http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&a...,d.bGE&cad=rjt

Lene81

Прикольно, не знал.
Если я правильно понимаю терминологию, этот факт даже в википедии упоминается

A Banach space X is topologically and linearly isomorphic to a Hilbert space if and only if, to every closed subspace V, there is a closed subspace W such that X is equal to the internal direct sum V ⊕ W.

Flash

Извините меня, я случайно не на ту ссылку нажал и оказался здесь.
Я ничего не понял, но так приятно почитать умных людей =)

tester1

Здорово, спасибо! Если бы я знал по функану ВСЁ, что есть в википедии, то я был бы весьма доволен собой :)

broroman

есть уравнение Шредингера, решения которого живут в гильбертовом пространстве
если под гильбертовым, как обычно у физиков, понимается L_2(R^n то в цитированной фразе заблуждение, так как решением даже свободного у.Ш. является плоская волна, о чем пишут в самом начале изложения квантово-оптической аналогии.
а уж сколько у него вообще обобщенных решений...
почти все решения, получаемые методом Маслова, — не из L_2, хотя он от обычных функций и не недалеко уходит

broroman

если под понимать волновую функцию, то всё хорошо: получившиеся уравнения движения, например, сохраняют энергию. Если же теперь всё то же самое написать для матриц плотности (перешли в банахово пространство то сразу теряем сохранение энергии, точнее, оно восстанавливается только в пределе полного базиса. Фактически, мы пытаемся вывести это наблюдение из фундаментальных свойств (точнее, их различий) гильбертовых и банаховых пространств
матрицы плотности не образуют не только банахова, но и вообще линейного пространства, ибо сумма двух м.п. не м.п. в силу требования единичности следа м.п.
что, в свою очередь, ставит в неудобное положение гиббсовские состояния квантовой статистики — они экспоненциальны :) и след их бесконечен

broroman

Если же теперь всё то же самое написать для матриц плотности
и кстати для матриц плотности уравнения не Шредингера а Гейзенберга

broroman

есть такой time-dependent variational principle, который позволяет строить "приближенные уравнения движения" в пространстве функций, определенных конечным набором параметров. А именно, он гласит, что
 
The time-dependent variational principle associates to a Hamiltonian quantum system a set of trajectories running on a classical phase space M with canonical equations of motion. When the quantum observables generate a Lie group G and the states are taken as functions on an appropriate homogeneous quotient space space M := G/G_0 under G, they can be equipped with a classical Poisson bracket which reproduces the commutators of the Lie group. The quantum system maps into a classical system whose equations of motion are governed by the expectation value of the quantum Hamiltonian H. We consider examples of this construction and show that the analysis of generalized classical systems provides insight into quantum many-body dynamics like chemical reactions.
http://iopscience.iop.org/1742-6596/99/1/012009

сдается мне, что у топикстартера ничто о группе Ли (порождаемой неким набором наблюдаемых) не гласило, соответственно содержательного ответа на свой вопрос он рисковал вообще не получить в силу неполноты постановки. А вот "the expectation value of the quantum Hamiltonian H" --- это походу частичный след от Н, а не число, --- иначе это среднее никаким движением рулить не сможет (состояние не изменится). А при взятии частичного следа тензорная факторизация гильбертова пространства чистых состояний должна индуцироваться факторизацией алгебры наблюдаемых то ли по по аннулятору алгебры Ли группы G, то ли G_0, это вот ночью неочевидно...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: