Функция, непрерывная во всех рациональных точках

DANA1

Существует ли функция непрерывная во всех рациональных точках и разрывная во всех иррациональных?
По смыслу понятно, что не существует, иррац. чисел слишком много, и если в них разрыв, то они потянут за собой разрыв в рациональных, но не могу это доказать.

Dr_Jones

дак вроде просто очень:
Пусть мы нашли окрестность рац. точки А, для которой значения функц. отличаются от значения в т.А не больше чем на дельта.

В любой окр. рац. точки А есть иррац. В
Раз разрывна во всех иррац. точках, то в любой окрестн. В найдётся точка С в которой знаение функции отличается от значеня в т. В, а значит и точки А больше чем на любое наперёд заданное дельта.
Что противоречит с предположением.

DANA1

Я тож об этом думал.
Но тогда, в твое доказательстве можно с очевидной заменой слов использовать для доказательства того, что не существует функции непрерыв. во всех иррац точках и разрывной во всех рац. точках, а на самом деле такая ф-я существует,
это ф-ция Римана.

kachokslava

Почему аналогичное утверждение нельзя ровести, если иррациональные и рациональные поменять местами? т.е.
почему так нельзя доказать, что не существует функции, непрерывной в ииррациональных и разрывной в рациональных (а такая есть - ф-я Римана)
маза надо как-то счётность использовать

kachokslava

опередил

spiritmc

Мера счётного множества?
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

haltay

Существует. Положим функцию равной нулю во всех рац точках. Покроем все рациональные точки счетным числом интервалов(на каждую - свой интервал с серединой в этой точке общей длиной равной 1. Надеюсь, все умеют так делать. Объединение интервалов обзовем A1. Все остальное - B1. Будем придерживаться таких условностей (Ai в объединении с Bi - вся прямая). Затем уменьшим каждый интервал в 2 раза. Получим A2 - объединение интервалов общей длиной 1/2. Они по прежнему покрывают все рац. точки. Соответственно, имеем и B2. И т.д. Теперь положим значение функции в точках мн-ва B1 равным 1, в точках B2\B1 - 1/2. И т. д. В точках Bi\(объединение Bj, где j<i) - значение функции равно 1/2^(i-1). Таким образом, получим функцию, непрерывную во всех рац точках и разрывную в ирр.

dysh

клева

Afonya

Вопрос: почему пересесечение всех Aj совпадает со множеством рац чисел?
По крайней мере, это не совсем очевидно.

haltay

Для человека, проучившегося на любом естественном факультете МГУ хотя бы год это должно быть понятно. Ты же не глупый парень, подумай

stm8792380


Существует ли функция непрерывная во всех рациональных точках и разрывная во всех иррациональных?

Ответ - не существует
Доказательство слегка опирается на известную теорему Бэра из функана - именно поэтому обычно подобные вопросы не рискуют спрашивать у студентов 1 курса - во всяком случае я не помню - и сам бы такое не спросил
Основное утверждение таково: Множество точек непрерывности любой функции континуально
Возьмите к примеру ф Римана - множество ее точек непрерывности - иррацион числа
Схема д-ва :
Утв 1: Множество точек разрыва любой ф-ии есть объединение конечн или счетного числа замкнутых множеств
Д-во утв 1: Множество точек разрыва - объединение конечн или счетного числа замкнутых множеств U(n)
где U(n)- все точки в которых колебание функции больше 1/n
То что U(n) замкнуты - доказывается обычнов курсе - или сами сделаете
Утв 2:Множество точек непрерывности любой функции есть пересечение счетного числа открытых множеств
Д-во утв 2 - ну просто это отрицание утв 1
Утв 3:пересечение счетного числа открытых множеств континуально - это по теореме Бэра делается

stm8792380

Кстати - я там только тривиальный случай не упомянул - это когда Множество точек непрерывности функции пусто - вроде как у ф-ии Дирихле - но это нам не надо рассматривать

Nefertyty

> Множество точек непрерывности любой функции континуально
f(x) = sin(1/x)*d(x на интервале (0; 1 d(x) - функция Дирихле.
Множество точек непрерывности счётно.

Nefertyty

>> Вопрос: почему пересесечение всех Aj совпадает со множеством рац чисел?
> Для человека, проучившегося на любом естественном факультете МГУ хотя бы год это должно быть понятно.
Не понятно.
И, кажется, неверно.

electricbird

разве?

Nefertyty

Я где-то слажал?
Вроде как f непрерывна в тех точках x, где sin(1/x)=0, и всё.

haltay

Во-первых, понятно, что все рациональные числа лежат в пересечении Aj - просто потому, что мы выбирали интервалы с центрами во всех рац точках. Во вторых, Иррациональных точек там нет. Потому как в пересечении интервалов из всех Aj, соответствующих выбранной рациональной точке, лежит ровно одна точка. И эта точка - середина данного интервала, та самая рац. точка. Вот так.

electricbird

угу, я уже въехал не успел стереть

Nefertyty

Маза дистрибутивный закон не выполняется для счётного пересечения счётных объединений.
Контрпример тоже можно придумать.

electricbird

в это пересечение почти все трансцендентные числа попадут
контрпример из числа Лиувилля можно соорудить

haltay

Да. Есть огрехи в док-ве
Но в любом случае, все рац точки - точки непрерыности. А почти все иррациональные - точки разрыва.

Nefertyty

Из любого иррационального числа, если правильно перенумеровать рациональные.
Маза не решить нам эту задачу, все рюхи уехали отдыхать

electricbird

задачку нам маза как обычно голосованием решать
p.s. про любое сомневаюсь, ну да пофиг

Nefertyty

Голосование - это идея, раз обычными методами не получается.

electricbird

открытое. типа поехали.
я за "не существует"

stm8792380


Я где-то слажал?
Вроде как f непрерывна в тех точках x, где sin(1/x)=0, и всё.


И еще х - рациональным должен быть !
Так что у тебя лажа написана
Но вот если пи добавить - вроде действит в целых точках будет непрерывность

electricbird

>И еще х - рациональным должен быть !
да вроде не должен

Nefertyty

я за ... (в свете новой информации пока воздержусь от голосования )

stm8792380

Утв 2:Множество точек непрерывности любой функции есть пересечение счетного числа открытых множеств
Это верно - а если кто то сомневается - см д-во
Насчет континуальности я может и облажался - просто наспех что то сварганил - но мне кажется что рациональные числа не представимы в виде пересечения счетного числа открытых множеств

electricbird

а как же аксиома выбора?

karelinAE

Множество точек разрыва есть множество типа еф-сигма. А множество иррациональных точек таковым не является.

avgustinka

Что ещё за эф-сигма?

valds75

Решение: Будем доказывать от противного. Обозначим ф-ю f. Перенумеруем все рациональные числа: p_1, p_2, ... . Для любых натуральных m и n в силу непрерывности f в точке p_m существует такой интервал A_{m, n}, что
1) p_m \in A_{m, n}
2) A_{m, n} \in (p_m - 1 / n, p_m + 1 / n)
3) \forall x \in A_{m, n} | f(p_m) - f(x) | < 1 / n.
Построим возрастающую последовательности натуральных чисел \{m_k\} и \{n_k\} следующим образом:
Пусть m_1 = 1, n_1 = 1. Для всех натуральных k > 1 выберем такое m_k > m_{k-1}, что
p_{m_k} \in A_{m_{k-1}, n_{k-1}} и такое n_k > n_{k-1}, что
1) A_{m_k, n_k} \subset A_{m_{k-1}, n_{k-1}}.
2) p_{m-1} \not \in A_{m_k, n_k}.
По индукции несложно показать, что A_{m_k, n_k} не содержит p_1, p_2, ..., p_{k-1}. Таким образом, A_{m_k, n_k} образует последовательность вложенных интервалов. Они имеет общую точку y, и она по построению не может совпадать ни с одной из p_1, p_2,... . Несложно показать, что в точке y функция f непрерывна. Противоречие.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: