Задача на интеграл

tester1

Апдейт: Epic win .
Может вероятностники помогут, потому что интеграл по гауссовой мере (если нормирующий множитель добавить) и его можно интерпретировать как матожидание.
 [math][res=300]$$\int_{\mathbb{R}^n}\|y\|^3 e^{\langle x,y\rangle} e^{\frac{-1}{2}(a_1y_1^2+...+a_ny_n^2)} dy_1...dy_n$$[/math]
Здесь [math]$\langle\cdot,\cdot\rangle$[/math] - обычное скалярное произведение в [math]$\mathbb{R}^n$[/math] , [math]$\|\cdot\|$[/math] - норма там же. Числа [math]$a_k$[/math] положительны (если надо, можно также считать, что в сумме дают единицу).

lenmas

Попробуй сначала для n=2 перейти к полярным координатам. Там, по-моему, должно получиться какое-то конечное выражение от тригонометрических функций. Видимо, похожий прием возможен и при n>2, но вычисления резко усложнятся.

tester1

Мапл справляется только в одномерном случае. Мне на самом деле нужен бесконечномерный случай, но такое спрашивать уж совсем перебор.

tester1

Долго объяснять. Для науки для моей.

toxin

Такое вряд ли берется. Тебе зачем точное значение-то? Если у тебя бесконечномерное пространство, то тебе его скорее оценивать нужно, чем точное значение считать.

fabio

изобретаешь континуальный интеграл ?

mtk79

а с какой радости это должно иметь предел при n=бесконечность?
Очевидно же, что в простейшем случае х=0, A=diag(1) (который неособый интеграл пропорционален (n-1)-мерной сфере, площадь коей стремится к нулю.
Т.о., чтобы предел был, есть подозрение, что a_n должно стремиться к нулю соответствующим образом

tester1

Такое вряд ли берется. Тебе зачем точное значение-то? Если у тебя бесконечномерное пространство, то тебе его скорее оценивать нужно, чем точное значение считать.
если не смогу взять, то придётся оценивать чем-то, что смогу взять. точное значение мне не особо нужно
интеграл по бесконечномерному пространству выглядит так:
 [math]$$\int_H\|y\|^3e^{\langle x,y\rangle}\mu_A(dy)$$[/math] где А - ядерный самосопряженный положительный корреляционный оператор гауссовой меры [math]$\mu_A$[/math] , по которой интегрируем, H - сепарабельное гильбертово пространство, x - вектор из H
оценивать надо сверху, хоть чем угодно, можно даже константой или любой функцией от х, ограниченной в окрестности нуля

tester1

А вот такой интеграл например Мапл 15 не берёт в конечномерном случае, а в бесконечномерном он берется
intb[11]*t1^2+2*b[12](t1*t2)+b[22]*t2^2)*e^(x[1]*t1+x[2]*t2-(a[1]*t1^2+a[2]*t2^2)*(1/2 [t1 = -infinity .. infinity, t2 = -infinity .. infinity])  

tester1

любой функцией от х, ограниченной в окрестности нуля
шит, я кажется начинаю подозревать, что это не возможно....

lenmas

А вот такой интеграл например Мапл 15 не берёт в конечномерном случае, а в бесконечномерном он берется
Ты по-человечески можешь выражаться? :grin:

toxin

Есть много методов оценки интегралов. К примеру, можно оценить [math]$||y||^3$[/math] как [math]$(x_1^3+...+x_n^3)\cdot\sqrt{n}$[/math] и посмотреть на произведение интегралов. Можно попытаться разбивать область интегрирования на части и оценивать их отдельно. Mожно отдельно рассмотреть случай равных [math]$a_i$[/math], где можно перейти к сферическим координатам. В конце концов, неужели никто еще ничего подобного не делал в литературе?

tester1

Проблема на в оценке нормы, а в оценке экспоненты от скалярного произведения. Мешает, что там х присутствует, вот от него надо избавиться или как-то за скобку вынести.

toxin

Переносишь начало отсчета и получается что-то вроде
[math]$e^{-\frac{1}{2}||x||^2_a}\int ||y-x||^3e^{-\frac{1}{2}||y||^2_a} dy$[/math]

tester1

Не понимаю. Написал в приват.

tester1

Интеграл по-прежнему по Н?
2. Что такое [math]$\|\cdot\|_a$[/math] ?
3. Вероятно, [math]$dy$[/math] означает [math]$\mu_A(dy)$[/math] ?
4. Почему равенство между твоим и моим интегралом имеет место?
5. Как это помогает "оценивать надо сверху, хоть чем угодно, можно даже константой или любой функцией от х, ограниченной в окрестности нуля"?

toxin

Я использую стандартный прием: [math]$e^{x_i y_i}\cdot e^{-1/2\cdot y_i^2} = e^{-1/2(y_i-x_i)^2}\cdot e^{-1/2\cdot x_i^2}.$[/math] Потом я делаю параллельный перенос на вектор x. Я там немного напутал и получается не совсем такой интеграл, но вид такой же.
PS [math]$||x||_a=a_1x_1^2+a_2x_2^2+\cdots+a_nx_n^2$[/math], соответственно [math]$||y||_a dy \equiv \mu_A(dy)$[/math].

tester1

ю параллельный перенос на вектор x
при этом интеграл будет уже не по старой мере, а по гауссовой мере со средним -х, а не 0, а у тебя это не учтено

toxin

[math]$\int f(y-x)dy=\int f(y)dy$[/math]. Поэтому [math]$\int f(y)e^{-1/2\cdot||y-x||}dy=\int f(y+x)e^{-1/2\cdot||y||}dy$[/math]. После переноса все возвращается на свои места.

tester1

Первое равенство неверно для гауссовой меры в Н, поскольку мера не инвариантна относительно сдвига - она сосредоточена около нуля, как и обычная одномерная гауссова мера.

lenmas

Первое равенство неверно для гауссовой меры в Н, поскольку мера не инвариантна относительно сдвига - она сосредоточена около нуля, как и обычная одномерная гауссова мера.
Блин, Гоник, ну включи уже мозг! Давно забыли про гауссову меру и перешли к конечномерному интегралу по мере Лебега :crazy:

tester1

Интеграл по Н сводится к интегралу по конечномерному пространству в случае интегрирования цилиндрического функционала, это не наш случай.
Или вы рассматриваете какие-то аппроксимации? Если так, то каким образом они строятся?
Вообще, кто-нибудь понимает, что предлагает Халявин? Объяснить можете?

tester1

Давно забыли про гауссову меру и перешли к конечномерному интегралу по мере Лебега
Мне гораздо интереснее интеграл по Н, потому что оценить или вычислить его и есть моя конечная цель, а интегрировать по H=R^n я решил просто чтобы посмотреть, что получится в конечномерном случае и попытаться потом обобщить на бесконечномерный.

lenmas

Мне гораздо интереснее интеграл по Н, потому что оценить или вычислить его и есть моя конечная цель, а интегрировать по H=R^n я решил просто чтобы посмотреть, что получится в конечномерном случае и попытаться потом обобщить на бесконечномерный.
Ну так там и стоит гауссовская плотность, причем сумма a_i ограничена, чем тебе не интеграл по цилиндрическому множеству?

tester1

Ты уже понимаешь, как оценить интеграл по Н?

lenmas

Ты уже понимаешь, как оценить интеграл по Н?
Тебе же Халявин написал.

tester1

Я не понял. Если ты всё понял, то приведи пожалуйста цепочку оценок в бесконечномерном случае, т.е. цепочку неравенств такого вида:
|интеграл по Н| меньше или равно ..... меньше или равно g(x)

lenmas

Ты сначала в конечномерном случае разберись, который тебе Халявин расписал.

tester1

Попробую подытожить что я понял про конечномерный случай.
Первым делом в интеграле делаем замену [math]$x\longmapsto \sqrt{a}x'$[/math] где [math]$x'=(x_1/\sqrt{a_1},...,x_n/\sqrt{a_n})$[/math] и [math]$\sqrt{a}x'=(\sqrt{a_1}x_1/\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_n}x_n/\sqrt{a_n})=x$[/math]. Получаем
 [math]$$\int_{\mathbb{R}^n}\|y\|^3 e^{\langle x,y\rangle} e^{\frac{-1}{2}(a_1y_1^2+...+a_ny_n^2)} dy_1...dy_n=\int_{\mathbb{R}^n}\|y\|^3 e^{\langle \sqrt{a}x',y\rangle} e^{\frac{-1}{2}(a_1y_1^2+...+a_ny_n^2)} dy_1...dy_n=\int_{\mathbb{R}^n}\|y\|^3 e^{\langle x',\sqrt{a}y\rangle} e^{\frac{-1}{2}(a_1y_1^2+...+a_ny_n^2)} dy_1...dy_n=I$$[/math]
Далее, используя равенство [math]$-\frac{1}{2}\|x'-\sqrt{a}y\|^2+\frac{1}{2}\|x'\|^2=\langle x',\sqrt{a}y\rangle - \frac{1}{2}\|y\|^2$[/math] получаем
 [math]$$I=e^{\frac{1}{2}\|x'\|^2}\int_{\mathbb{R}^n}\|y\|^3 e^{-\frac{1}{2}\|x'-\sqrt{a}y\|^2}dy$$[/math]
Далее делаем замену [math]$x'-\sqrt{a}y\longmapsto y'$[/math], т.е. [math]$y\longmapsto \frac{1}{\sqrt{a}} (x'-y')$[/math]. При этом придётся умножить на якобиан замены, который (не гоню же?) равен [math]$\frac{-1}{\sqrt{a_1\cdot...\cdot a_n}}$[/math]. Получается
 [math]$$I=\frac{-1}{\sqrt{a_1\cdot...\cdot a_n}}e^{\frac{1}{2}\|x'\|^2}\int_{\mathbb{R}^n}\|\frac{1}{\sqrt{a}} (x'-y')\|^3 e^{-\frac{1}{2}\|y'\|^2}dy'$$[/math].
Дальше там какие-то рассуждения про сдвиг, их я не понимаю.

tester1

Зато далее можно воспользоваться тем, что норма разности не превосходит сумму норм, эту сумму норм потом под интегралом возвести в куб, интегралы по y' берутся и исходный интеграл оценивается как многочлен третьей степени от нормы х'.
Ура!
Осталось перенести это на бесконечномерный случай.

lenmas

Зато далее можно воспользоваться тем, что норма разности не превосходит сумму норм, эту сумму норм потом под интегралом возвести в куб, интегралы по y' берутся и исходный интеграл оценивается как многочлен третьей степени от нормы х'.
Ура!
Осталось перенести это на бесконечномерный случай.
Да, правильно вроде, на прикидочном уровне так и должно было получиться.
Только тебе же нужно учесть, что ряд из a_i сходится, то-есть твой коэффициент перед интегралом последним стремится к бесконечности при нарастании размерности. Правда, и площади единичных сфер, которые возникают
при вычислении n-мерных интегралов от функций, зависящих только от нормы, тоже будут стремиться к нулю, так
что может в некоторых случаях при ограничениях на стремление a_i к нулю будет получаться что-то конечное в пределе. Но это нужно уже конкретные точные оценки смотреть, а не прикидывать.
P.S. Кстати, у тебя там в экспоненте, где стоит x', какая-то норма стоит загадочная, типа антиядерной :grin:
В общем, думаю, что на этом модельном примере ты все и выяснишь.

tester1

С якобианом я не облажался? Вечно путаю прямой и обратный якобиан.

toxin

Дальше я думаю надо оценить разность между конечным и бесконечным интегралом. Пусть [math]$y=(y',y'')$[/math], [math]$y'$[/math] — конечная часть, [math]$y''$[/math] — бесконечная часть (вектор [math]$x$[/math] разбиваем таким же способом). Тогда получатся интегралы вроде [math]$\int f(y')g(y'')dy'dy''$[/math]. Далее нужно доказать неравенство [math]$g(y'')\le h(x)$[/math] и показать, что [math]$h(x)\int f(y')dy'\rightarrow 0$[/math] при устремлении размера вектора [math]$y'$[/math] к бесконечности.
К примеру:
[math]$\int ||y'||^3e^{<x,y>}e^{-1/2||y||_a}dy - \int ||y'||^3e^{<x',y'>}e^{-1/2||y'||_a}dy'=$[/math]
[math]$\int ||y'||^3e^{<x',y'>}e^{-1/2||y'||_a}(e^{<x'',y''>}e^{-1/2||y''||_a}-1)dy'dy''$[/math]
Тогда выполнено [math]$e^{<x'',y''>}e^{-1/2||y''||_a}\le e^{-1/2||x''||_{a^{-1}}}$[/math]. Т.е. [math]$h(x)=e^{-1/2||x''||_{a^{-1}}}-1$[/math]. Остается показать, что
[math]$h(x)\int||y'||^3e^{<x',y'>}e^{-1/2||y'||_a}dy'$[/math] стремится к нулю. Если конечномерные интегралы ограничены некоторой функцией от x (и соответственно меньше бесконечности то из существования [math]$||x||_{a^{-1}}$[/math] будет следовать, что [math]$||x''||_{a^{-1}}$[/math] стремится к нулю, откуда получим требуемое.
Там есть еще интегралы, которые я сходу оценить не могу. Но по крайней мере это уже обычный матанализ и функан, а не неведомые бесконечномерные интегралы (если что, я до сих пор не знаю их определения).

lenmas

Ну, в принципе ты сейчас и рассматриваешь бесконечномерный интеграл по гауссовской мере, только с ядерным ковариационным оператором, у которого стандартные базисные векторы являются собственными, так что если насобачишься с ним, то и в общем случае получится. Только, если не ошибаюсь, у интегралов по конечномерным
подпространствам у гауссовской плотности должен быть множитель (нормирующий) типа корня из произведения a_i, деленного на площадь n-мерной единичной сферы с какой-то там гамма-функцией. Это если уж доводить до кондиции
вычисления.

tester1

неведомые бесконечномерные интегралы (если что, я до сих пор не знаю их определения
На гильбертовом пространстве можно ввести специального вида счетно-аддитивную вероятностную неотрицательную меру, называется гауссова мера. Она характеризуется матожиданием (средним) и корреляционным оператором.
Можешь подробнее в прочитать в разделе о гауссовских мерах, там все очень подробно объяснено на 5 страницах.

lenmas

Можешь подробнее в (моей стаье - сейчас версию поновее загружу) прочитать в разделе о гауссовских мерах, там все очень подробно объяснено на 5 страницах.
Спасибо, но у меня уже давно лежит книжка Го, которую я все никак не удосужусь прочитать до конца :grin:
Я понимаю, что матожидание и ковариационный оператор, но я как-то проще представляю себе гауссову меру,
нежели по виду ее преобразования Фурье :)

tester1

Книжка Го хорошая.

tester1

какой-то гомосек (или шани, или хер_в_суп) поставил минус за то, что ссылаюсь на свою статью? нормальная статья, сначала посмотрите, а потом минусуйте.

lenmas

какой-то гомосек (или шани, или хер_в_суп) поставил минус за то, что ссылаюсь на свою статью? нормальная статья, сначала посмотрите, а потом минусуйте.
Да, статья впечатляет :grin:
У тебя, кстати, я так понимаю, ряд из 1/a_i сходится, а не из a_i?

tester1

Да, статья впечатляет

это ирония или что?
У тебя, кстати, я так понимаю, ряд из 1/a_i сходится, а не из a_i?
у меня сходится ряд из собственных чисел корреляционного оператора, это вроде как раз 1/a_i

lenmas

у меня сходится ряд из собственных чисел корреляционного оператора, это вроде как раз 1/a_i
Так бы сразу и написал! А то только народ путаешь (в первом посте написал, сумма a_i равна единице) :)

lenmas

это ирония или что?
Да нет. Что-то ты болезненно все воспринимаешь, будь проще!

tester1

Так бы сразу и написал! А то только народ путаешь (в первом посте написал, сумма a_i равна единице)
Я сам ошибался, сообразил только после твоего поста. Прошу прощения.

tester1

Короче, друзья, всем спасибо большое. Я понял, как легко и просто получить желаемое. Пусть [math]$\|x\|\leq 1.$[/math] Тогда
 [math]$$\int_H\|y\|^3e^{\langle x,y\rangle}\mu_A(dy)\leq \int_H\|y\|^3e^{\|x\|\|y\|}\mu_A(dy)\leq \int_H\|y\|^3e^{\|y\|}\mu_A(dy$$[/math]
где последний интеграл - константа.

Sergey79

кто же знал что ты желаешь именно этого :confused:
слева не пойми что, условие аццкое наложено...

toxin

Еще нужно доказать, что он меньше бесконечности. Наверное для этого есть какая-то техника? Понятно, что должно быть выполнено [math]$\int_H f(||y||)\mu_A(dy) \le \int_0^\infty f(z)p(z)dz$[/math] или [math]$\int_0^\infty f(\sqrt{z})p(z)dz$[/math], но не очевидно как оценить [math]$p(z)$[/math].
PS Я пока прочел где-то половину статьи. Теперь я хотя бы понимаю, что такое бесконечномерный интеграл.

Lene81

Кстати, Гонобобель, а ты засранец: ты просил интеграл посчитать, а на деле оказывается, что тебе достаточно его оценить.

toxin

Это было раскушено в 5том посте этой темы.

BSCurt

(UPD: epic win)
Умение использовать неравенство Коши-Буняковского для спеца по функану, это конечно эпик вин!

Lene81

Это было раскушено в 5том посте этой темы.
И вправду. Suxx. Посыпаю голову пеплом.

tester1

Еще нужно доказать, что он меньше бесконечности.
это более-менее очевидно. всё, что растёт медленнее, чем [math][res=300]$e^{\varepsilon \|x\|^2}$[/math] интегрируется по гауссвой мере на гильбертовом пространстве (следует из теоремы Ферника или ещё чего-нибудь).

tester1

Умение использовать неравенство Коши-Буняковского для спеца по функану, это конечно эпик вин!
умение разглядеть простое в сложном - вот вин
если посмотреть, в какие сложности зашло обсуждение, то станет ясно, что это и правда вин
ты не умалишь мой триумф своими жалкими плаксивыми комментариями

BSCurt

Что делать если норма x не меньше 1.

tester1

Мне надо в окрестности нуля оценить. Там на самом деле вместо х идёт малый параметр, умноженный на довольно большое выражение. Надо оценить порядок малости по параметру некоего ещё большего выражения, частью которого является данный интеграл. Поэтому интеграл вполне можно оценивать вблизи нуля, и оценка константой подходит.
Но не знаю, смог ли бы я это сообразить, если бы не обсуждение в этом треде, так что всем большое спасибо от душа за небезразличие!
Наймлесу же --- презрение за безразличие и глум, помноженные на желание подъебать.

toxin

если посмотреть, в какие сложности зашло обсуждение, то станет ясно, что это и правда вин
Мне просто хотелось оценить интеграл точнее и сбивало с толку отсутствие множителей [math]$\sqrt{\frac{a_i}{2\pi}}$[/math], которые нужны чтобы получить нормальное распределение. Но твой метод проще, да.

tester1

Я тоже думал, что нужно действовать точнее. Но когда вгляделся в свои требования "оценить ограниченной в окрестности нуля функцией", то понял, что можно сразу считать, что мы находимся в окрестности нуля и надо попытаться оценить константой.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: