функциональный анализ- задачи

v7e7t7e7r

(1) функция f(x) задана на полуоси [1, +бесконечность)

cos (x) , рациональных точках
f(x)=
cos (x) / x, в иррациональных точках
доказать, что f(x) измеримо. Будет ли интегрируема по Лебегу на [1, +бесконечность)?
(2)
привести пример последовательности функций, которая сходится на L2[0,1], но расходится в каждой точке [0,1]
(3)
на пространстве С[0,1] задан функционал, действующий по формуле
F(f)= интеграл(от 0 до 1/2) f(x)dx - интеграл(от 1/2 до1) f(x)dx
показать что линеен, ограничен.Найти его норму.
товарищи помогите с ними разобраться :smirk:

Slamchek

Номер 1.
Чтобы доказать, что f(x) измерима, достаточно показать, что эквивалентная ей функция g(x) = cos(x) / x измерима. (Функции эквивалентны, так как мера множества рациональных чисел равна нулю.)
g(x) непрерывна на E_n = [n; n + 1 поэтому измерима на E_n. Значит, она измерима и на счётном объединении E_n (n - натуральное то есть на полуоси [1; \inf].
Не интегрирума по Лебегу на бесконечности, так как модуль не интегрируем.

griz_a

Ступеньки Риссе - [math]$g_{i,n}(x)=I_{x \in [\{\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}]\}}, i=0..2^{n-1}$[/math], перенумерованные в [math]$f_n=g_{n-2^{[log_2 n]},[log_2 n]+1}$[/math]

Suebaby

) линейность проверяется непосредственно
почему норма <=1:
||f||<=1
|f|<=1
|\int_0^(1/2) f(x)dx|<=1/2, |\int_(1/2)^1 f(x)dx|<=1/2
|\int_0^(1/2) f(x)dx|-|\int_(1/2)^1 f(x)dx|<=1
норма, равная 1-\varepsilon^2, достигаются при f_\varepsilon(x)=
1, если x<1/2-\varepsilon
-1, если x>1/2+\varepsilon
(1/2-x)/\varepsilon, если |x-1/2|<\varepsilon
значит норма равна 1.

Suebaby

на правах рекламы: ботай учебник Хелемского!

v7e7t7e7r

как вообще вторую решать?

Suebaby

Могу перевести с математического на русский:
каждая из функций f_n равна 1 на некотором отрезке и 0 в остальных точках. При этом с ростом n этот отрезок бегает по всему отрезку [0,1] и уменьшается. Непонятно, почему разъяснений ты просишь у меня, а не у автора решения, да ещё и с таким видом, как будто он решения не предлагал.

svetik5623190

привести пример последовательности функций, которая сходится на L2[0,1], но расходится в каждой точке [0,1]
Не "на L2[0,1]", а "в L2[0,1]".
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: