Задачи по функциональному анализу

Marina32

Построить непр. f(x) и изм. g(x) т, что g(f(x неизм.
В связи с этим возник вопрос, является ли ф-ия Кантора непр?
2.Как доказать, что если пос-ть Fn ->F cходится по мере, то Fn^2->F^2 сх-ся по мере?

naami_moloko

функция Кантора ("лестница" Кантора) - непрерывная

Marina32

о, круто! спасибо!

griz_a

Во-второй задаче F - какая? Ограниченная? Если все равномерно ограничить, то
m(|(Fn)^2-F^2|>eps)=m(|Fn-F|>eps/2M)->0, n->inf.
Соответственно, если F ограничена, то m(|Fn+F|>2M+eps)<=m(|Fn-F|>eps)->0

Marina32

это даже я придумал... )
а случай произвольной F?

griz_a

А это верно, в случае неограниченной F?
Кстати, с первую ты понял, да?

Marina32

  Кстати, с первую ты понял, да? 
уже фиг знает...
щас перебираю, какие есть измеримые ф-ии, для кот. че-нить подобное можн соорудить.

griz_a

Надо для любого eps>0 и delta>0 найдется N для любого n>N m(|Fn^2-F^2|>eps)<delta.
Но найдется M: m(|F|>M)<delta/2, найдется N: для любого n>N m(|Fn-F|>eps/(2M+eps<delta/4.
m(|Fn^2-F^2|>eps)<=m(|Fn-F|>eps/(2M+eps|Fn-F|<eps,|F|<M)+m(|F|>M)+m(|Fn-F|>eps)<delta

Marina32

m(|Fn^2-F^2|>eps)<=m(|Fn-F|>eps/(2M+eps|Fn-F|<eps,|F|<M)+m(|F|>M)+m(|Fn-F|>eps  
а откуда это меганеравенство взялось?

griz_a

m(|Fn^2-F^2|>eps)=m(|Fn^2-F^2|>eps,|F|>M)+m(|Fn^2-F^2|>eps,|F|<=M)<=
m(|Fn^2-F^2|>eps,|F|<=M)+m(|F|>M)=m(|F|>M)+m(|Fn^2-F^2|>eps,|Fn-F|>eps,|F|<=M)+m(|Fn^2-F^2|>eps,|Fn-F|<=eps,|F|<=M)<=m(|F|>M)+m(|Fn-F|>eps)+m(|Fn-F|*|Fn-F+2*F|>eps,|Fn-F|<=eps,|F|<=M)<=
m(|Fn-F|>eps/(2M+eps|Fn-F|<=eps,|F|<=M)+m(|F|>M)+m(|Fn-F|>eps)

Marina32

еж твою... ) ну, блин. ты умен!
тогда похоже все верно!

Marina32

а по первой есть идеи?

griz_a

Тут не ум, тока техника. Тогда пока, если найдешь ошибку, пости, я вечером часов в 12 загляну

griz_a

Ну есть неборелевское измеримое множество. Берем его индикатор.
Теперь строим функцию, т.ч. у нее прообраз этого неборелевского был неизмерим.
В общем, маза вот в чем -
непрерывная -> у борел. прообраз борел.
измеримая -> у борел. прообраз измеримый. Поэтому наоборот бы не получилось - у борел пробраз был бы борел, у него - измеримый. А так получится, т.к. у борел можно взять не борел прообраз. Додумай. Если чего в 12 допишу

Marina32

тут, я думаю, нужен пример конкретных ф-й

griz_a

Естественно. Мне просто некогда было строить. Надо построить непрерывную функцию, такую, что прообраз измеримого (какого-то одного) множества будет неизмерим. По-моему, когда строится измеримое неборелевское множество, то там участвует такая функция. Чего-то с обратной канторовской лестнице. У вас такого не было?

Marina32

в КоФо про построение обр. кант. лестницы нет ничего
у нас этого не тоже было

griz_a

Тема такая - берем канторовскую лестницу+x.
Получаем отображение [0,1] в [0,2], причем непрерывное и монотонное.
При нем дополнение канторовского множества до отрезка 0,1 переходит в множество меры 1.
(т.к. образ дополнения канторовского множества это сумма множеств образа дополнения канторовского множества при канторовской лестнице (множество меры 0) и множества образа того же множества при тождественном отображении. Итого - меры 1.)
В нем есть неизмеримое. Оно при обратном нашем отображении ложится в канторовское множество. Это значит, что такое отображение неизмеримое множество переводит в множество меры 0, т.е измеримое
Взяв его индикатор получаем, что композиция непрерывного и измеримого переводит наше неизмеримое множество отрезка [0,2] в 1 взаимооднозначно. Вот и все.

Marina32

вау!
респект!

griz_a

Осилил?

Marina32

афтар пеши истчо! )

griz_a

Чего? Ты не осилил, что ли?
Или у тебя еще задачи?

Marina32

асилил, асилил...
я выразил признательность типа )

griz_a

А ну клево, а то я сам не осилил то что написал. Давай еще задачи, буду писать еще.

vlmaxxxx

Есть в функане такая лемма, лемма о почти перпендикуляре. Вопрос такой,
привести пример пространств (желательно с объяснением) в которых epsilon не
может быть равен 0.
Напомню условия леммы:
У нас есть пространство M и в нём замкнутое подпространство L. Тогда для
любого epsilon>0 найдётся вектор x: ||x||=1, p(x, L)>1-epsilon.
Понятно, что фишка тут в том, что L - замкнуто, но не обязательно полно.

griz_a

Да ладно тебе, я и сам могу заглянуть в соседний тред. Только я не отец функана, так что не буду думать даже.

vlmaxxxx

типа спасиба за помощь

griz_a

Не, я сейчас погляжу конечно, но только в следующий раз называй тред по-другому
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: