Задача по геометрии

kachokslava


Есть колодец, в него опустили палки длиной 2 и 3 (зелёная и красная линии)
точка пересечения находится на высоте 1 от дна колодца (синий отрезок)
Определить ширину колодца.
У меня всё сводится к уравнению 4-й степени, которое не очень-то решается...
Интересно, есть ли красивое решение?

11qq11qq11qq

оригинальная трактовка задачи есть ? (можно в переводе на русский) .........

kjjff

Я, кстати, получил в итоге уравнение и тоже четвертой степени

Diman0606

Дана прямоугольная трапеция, длины диагоналей которой равны 2 и 3. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны, перпендикулярной основаниям, равно 1. Найти высоту трапеции.
Ты это имел в виду?
Что-то я не соображу как без уравнения четвертой степени эту задачку решить...

stm5572481

Описывается в одном из рассказов Казанцева, кажется. Название не помню. С решением, естественно. И решение там геометрическое.

ozonator_stream

Точно, с трапецией получается клево, сумма оснований трапеции равна половине высоты данной трапеции(ширине колодца). Затем принимаем за Х высоту, выражаем длину оснований через Х и к нему же приравниваем. В итоге Х = корень(13/6) и одно не использованное данное.....

ozonator_stream

один минус, но большой, полусумма оснований не равнв высоте.....

kjjff

Короче, решайте такое уравнение. Простое решение пока не нашел.

Diman0606

Слушайте, я совсем забыл элементарную математику. Есть ли какая-нибудь формула, связывающая периметр трапеции и сумму ее диагоналей или что-нибудь в этом роде?

satyana

231185724
без формулы.

Diman0606

Что-то около 1,23 получается... Надо точно решить.

Diman0606

Опередил.

Diman0606

На самом деле я достоверно выяснил, что сумма оснований равна квадрату высоты.
И уравнение соответственно другое выходит:

_shmel_

Товарищи, у всех же тут матпкеты стоят, а ур-ние 4-й степени имеет решение в радикалах. Неужели трудно проделать эту операцию? (хотя лично я не умею )

slo14

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0

kachokslava

Это всё ерунда. там кубические корни надо комплексные извлекать и из трех+трех вариантов надо перебором выбирать такие, чтобы выполнялось дополнительное условие. ты ответ-то нарисуй, а?

Diman0606

Осталось только подставить a=1, b=4, c=-29, d=-39, e=133 =)
И из полученного решения извлечь квадратный корень.

kjjff

На самом деле я достоверно выяснил, что сумма оснований равна квадрату высоты

ИМХО!
Я могу нарисовать трапецию, у которой два основания большие-большие, а высота маленькая-маленькая.

kjjff

Я получил уравнение исходя только лишь из подобия двух треугольников.

slo14

А таки что тебе нужно?
Численный ответ уже дали.
Могу предоставить ответ в радикалах.
Могу предоставить ответ в радикалах не для 4 и 9, а для a^2 и b^2.
Что надо?

kachokslava

Нужен: ответ в радикалах для исходной задачи.

slo14

Боюсь, что тоже не поможет.
1/(4 - x^2) + 1/(9 - x^2) = 1

kjjff

Можешь ответ представить в ввиде десятичной дроби?

slo14

2311857237786683

kjjff

Ага, оно

kachokslava

Ок, я тоже проверил. но всё же интересно красивое решение..
или упростить это..

sergei1207

гонево. при равных основаниях можно иметь разные боковыйе стороны и соответственно высоту.

Diman0606

Высота равна одной из боковых сторон: трапеция-то прямоугольная!
В общем, так:

Треугольники DBC и DEX подобны => a/1=h/|DX|, |DX|=a/h. Аналогично |CX|=b/h. Но |DX|+|CX|=h => a+b=h^2, что и требовалось. Осталось заметить, что a=\sqrt{4-h^2}, b=\sqrt{9-h^2}.

kjjff

Как все запущено...
Ты сам подумай, в каких единицах измеряется сумма сторон, в метрах, допустим. А квадрат стороны - в метрах квадратных!
Метр = Метр^2
Прикольно! Вроде на мехмате учишься...

kjjff

a/1=h/|DX|, |DX|=a/h

Это неправильно!
|DX|=h/a

sersh_2000

Тут все верно, в неявном виде и a и b домножены на 1 м (величина высоты пересечения палок).

Aleksey67

отлично!
а теперь едешь в древний египет и объясняешь решение аборигенам
не сдержался....

Tallion

Ну типа через подобие нашел x = 6/sqrt(13 это правильно? Задачка элементарная ИМХО.

kjjff

ИМХО!
Ответ неправильный.

maxas67

неправда. размерность разная.

Tallion

Какой правильный?

stm2596015

Есть такая идея:
Если продолжить XE до пересечения c AB (пусть в точке Y). Тогда XY = 2 ( EX = EY).
Наверяника есть простое соотношение между а,b и XY. Как для средний линии трапеции.
Вот тока не помню какаое. Просто через радикалы 4-й степени
как-то некрасиво получается...

Sanych

Правильный ответ написан выше, и вряд ли его можно сильно упростить, так как всё равно группа Галуа у получающегося уравнения 4-й степени -- S_4 (если верить Maple'у)
to ():
Отрезок XY выражается через основания трапеции как 2ab/(a+b). Если в этом был вопрос

Tallion

Странно. Колодец-то прямоугольный или нет?

lodanap

( EX = EY).
Совсем не помню геометрию. А почему так?

aina

Представь себе равнобедеренную трапецию, получаемую из этой горизонтальным сдвигом верхнего основания.
Кстати XY называется "средним гармоническим" для длин оснований (суть ИМХО, т.к. возможно ошибаюсь.)

lodanap

Странное доказательство. Я как-то не уловил связь между рабнобедренной и прямоугольной трапецией...

Aleksey67

да проще равенство доказать через отношение площадей треугольников

Sanych

получаются друг из друга преобразованием вида
x'=x+ky
y'=y
сохраняющим прямые, параллельность и длины горизонтальных отрезков, каковыми в доказательстве являются основания, а также EX и EY

aina

>сохраняющим длины вертикальных отрезков, каковыми по определению являются основания и EX,EY
горизонтальных

sergeymorozov

Слушай, но 6/sqrt(13) получается 1,664100!
а там вроде как 1,23... получалось?!

Vitaminka

кафедра ТЧ нам помогает?

stm2596015

>Совсем не помню геометрию. А почему так?
Потому что прямая проходящая через точку Е и вершину треугольника ( точка пересесения
AB и СD ) будет делить а и b пополам, а значит и XY.
Спасибо за 2ab/(a+b но видимо это больших упрощений не дает:
ab = a + b
a^2 - b^2 = 5

lodanap

там на 5-6 страницах рассуждения о построении этой задачи.
Надеюсь поможет.
p.s. Я не читал, мне убегать надо...

Sanych

Рассуждения частично здравые, только там наверно забыли, что в утверждении про существование цепочки квадратичных полей исходно должно быть нормальное расширение степени 2^k, и поэтому получили неправильный ответ. Раз группа Галуа S_4, то нормальное расширение (когда добавим корень и все его сопряжённые) будет из 24 элементов, а значит цепочки квадратичных расширений не достаточно.
Я пока эту науку регулярно не изучал, но думаю прав. Был бы уверен, если бы в статье не утверждалось обратное.

kachokslava

В качестве ответа также подойдёт построение указанной прямоугольной трапеции через две диагонали (2 и 3) и расстояния от т.пересечения диагоналей до короткой стороны (1)

sergeymorozov

Ну задолбали уже... Какой всё-таки правильный ответ?

slo14

Думаю, что никакого.
Я не проверял составленное уравнение, но если оно верно, то решения проще чем скорее всего не получится.

Sanych

Невозможно (построить с помощью циркуля и линейки). [Как и удвоение куба] {повторяю более чётко}

kachokslava

Чего ? Причём здесь удвоение куба?
Ты статью читал? Вот , что выкладывал?
Там же явно сказано, что построить при d_1=2, d_2=3, u=1 можно!

kachokslava

[delete]d

Sanych

Да, читал. И считаю, что там написано неправильно. (см. выше)

Vitaminka

c дремычем лучше не спорить
статья в инете где-нибудь есть? не могу открыть

stm2596015

А что такое НОРМАЛЬНОЕ расширение?

wladkom

сформулируй утверждение в терминах многочлена
типа такого: поскольку корень то-то и то-то, то построить его нельзя

Vitaminka

допустим расширение получено присоединением примитивного элемента, тогда если в этом расширении содержатся все сопряженные (корни многочлена то расширение называется нормальным
расширение Q(корень из 2) нормальное т.к. -(корень из двух) - сопряженный корень x^2-2=0. содержится в этом расширении
Q(корень кубический из 2) ненормальное:)
т.к. один из корней комплексный, он не лежит в нашем поле
Дремову В.В.:мне все-таки охота услышать ответ: почему в нашем случае нельзя расширение 4 представить в виде расширения 2х2?

Sanych

Предположим, что цепочка квадратичных расширений дала поле L, которое содержит нужное нам поле K. Тогда "нормальное расширение" N(L то есть когда мы добавим к L все сопряжённые всех добавленных элементов, тоже будет некоторой степени вида 2^m. С другой стороны, оно будет содержать N(K и значит степень N(L) должна делиться на степень N(K).
Но для нашего многочлена 4-й степени если добавить все его корни, то получится расширение степени 24. Я это сам не проверял, просто поверил программе на компьютере.Если это делать вручную, то надо показать, что ни один корень многочлена не есть рациональная функция другого -- этого уже хватит, чтобы утверждать, что степень нормального расширения N(K) делится на 12. [так как после выделения множителя (x-x_1) останется неприводимый над Q(x_1) многочлен степени 3, корень которого тоже надо добавить]
(все желающие могут самостоятельно открыть книжки, и поискать там правильные термины и обозначения -- ибо мне самому это сделать сложно)

kachokslava

Зачем добавлять все корни, когда требуется присоединить только один?
Как определилось, что степень расширения = 24?

Vitaminka

перечитай предыдущий пост, если непонятно еще раз...

kachokslava

Ещё раз, непонятно, почему Дрёмов добавлял все корни, когда требовалось добавлять только один.
Согласен, в том случае, если ни один корень не есть рациональная функция другого, при добавлении всех корней, степень расширения будет = 4*3*2*1. Объясни, зачем добавлять ВСЕ корни? один из корней стопудов рациональная функция остальных - хотя бы по теореме Виета: x1*x2*x3*x4= последний член многочлена (целое число). Утверждение про рациональную невыразимость корней друг через друга (конкретно для этого уравнения) мне не очевидно.
Так что возможен вариант, что при добавлении второго корня (сопряжённого с первым) ничего не произойдёт (он уже будет содержаться в поле).
Дрёмов говорит, что вычислил степень расширения = 24 при помощи программы. мне интересен способ этого вычисления.

Sanych

(2)Извиняюсь, если ввёл в заблуждение. Программа не моя, называется Maple 7, функция
galois(t^4+2*t^3+5*t^2-2*t-1);
выдаёт
"4T5", {"S(4)"}, "-", 24, {"(2 4)", "(1 4)", "(3 4)"}
Что означает, что четвёрку корней можно сопряжением перевести в любую их перестановку.
Алгоритм, по которому она считала, я вытащить не смог.
(1)Все сопряжённые корни добавлялись, чтобы прошло доказательство. Естественно, их пришлось добавлять и к большему полю, но это не проблема.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: