помогите решить задачу по линалу!

kafka

Пусть А симметрическая матрица ранга k. Доказать, что её можно разложить в сумму k матриц ранга 1,
так что для любого i существует j такое, что Ai-транспонированная равна Aj (1<=i,j<=k).

margo11

скорее всего, надо привлечь жорданову форму

manggol

странно. мне кажется просто разложится в сумму к симметрических одноранговых - по числу векторов в ортогональном базисе. то есть j всегда будет равно i. просто ортогональной заменой приводишь в диагональный вид

kafka

up

seregaohota

Так сказали же уже, это просто переформулировка жордановой формы в других словах.
Симметрическая матрица диагонализуема и базис из собственных векторов можно взять ортонормированный v_1,..,v_n; собственные числа L_1,...,L_n. Для любого вектора x его координаты в этом базисе будут скалярные произведения (v_i,x значит
A x = \sum L_i v_i (v_i,x) = ( \sum L_i v_i v_i* ) x
векторы записываются как столбцы, * - транспонирование.
Это нужное тебе разложение (i=j, матрицы симметричны, при транспонировани совпадают сами с собой)
A = \sum L_i v_i v_i*
L_i v_i v_i* симметричная матрица (Если L_i не 0, то ранга 1 тк в этой матрице столбец v_i просто умножен на разные числа, иначе это нулевая матрица).
--------------------------------------------
То же самое можно получить другими рассуждениями из представления
A V = V L
где столбцы V - собственные векторы A, L - диагональная из собственных чисел. V можно ортогональную взять (это можно сделать, тк вектора, отвечающие разным собственным числам ортогональны, остаётся их нормировать, а для одинаковых берём базис собственного подпространства).
Для ортогональной матрицы V^{-1} = V*, тогда
A = V L V*
(впрочем это вроде и так известно, что такое представление, только матрицу перехода к новому базису часто C пишут, а не V)
A = (V L) V*
в скобках столбцы как у V, только умноженные каждый на свой L_i, понаблюдав что там i-й столбец первой матрицы (V L) при перемножении промахивается по чужой строчке j<>i второй матрицы V* получишь то же представление, что и выше.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: