Задача о монетке

coteico

Вам дали монетку, которую вы подбросили 50 раз и она упала на орел. Когда вы подбрасываете ее в 51-й раз, вероятность какого исхода(орел или решка) больше и почему?

Vlad128

больше на орел, потому что боян :)

mtk79

вероятность выпадения орла намного больше, потому что вероятность того, что у монетки на обеих сторонах — орел, близка к единице

Vlad128

Это не все, это в предположении идеальности монеты.

shale60


я об этом некоторым ученикам в 9 классе рассказываю :)

coteico

об "Ошибке игрока"?
Так нет же, это в предположении об идеальности монетки, как и было написано выше, о чем, естественно в задаче не сказано, как не сказано о ее структуре, вероятностях выпадения, ...
Соответственно, задача эта таки не по зубам девятикласникам, как правило... И, судя по тому, что ошибку игрока приводят тут, внимательности некоторым форумчанам тоже не хватает.
И если вы ставите минусы, то запостите хотя бы одно законченное нормальное решение этой задачи)

shkaff

ты хочешь, чтобы тебе теорему байеса написали что ле?
ответ будет зависеть от априорной гипотезы распределения вероятности монеты.
собственно если ты считаешь априори, что монета честная с вероятностью 100%, то ответ "вероятности равные"

coteico

У нас нет оснований так считать. И так предполагать мы тоже не можем. Это предположение достоверно с некоторой вероятностью.
Так что нет, это не решение) Нужно решение не использующее предположения, не указанные в явном виде в условии.

shkaff

uniform distribution, который ты судя по всему хочешь выбрать, - это точно такое же "предположение, достоверное с некоторой вероятностью". "И так предполагать мы не можем, потому что нет оснований так считать"
У разных людей разное априорное представление о монете, поэтому и ответ разный. Ты тут хочешь сказать, что у одних людей оно хуже, чем у других, и что какая-то одна гипотеза самая лучшая. Это бред
Логичным представляется, чтобы априорное распределение было симметричным относительно 0.5 (потому что орел и решка равнозначны поэтому оно сместится в сторону орла, и вероятность выпадения орла будет больше. Насколько - посчитать нельзя, зависит от априорного распределения, которое условиями задачи не задано.

coteico

А с чего вы взяли, что я хочу выбрать?
Я вообще не хочу никакие предположения выделять из остальных и получить решение, учитывающее различные предположения и варианты. Вплоть до варианта, что у монеты есть только Орел.
Тут же не требуется посчитать вероятность того, как она упадет, это невозможно. А вот сравнить две вероятности при условии такого вот результата - вполне себе возможно.

sven1969

ты гуманитарий что ле?

coteico

ну разумеется, только пока что тут не было ни одного адекватного решения. ) Все только говорят, что это школьная задача и постят решения своих выдуманных задач.

Vlad128

это не решение) Нужно решение не использующее предположения, не указанные в явном виде в условии.
тут написан бред, предположения надо будет использовать в любом случае, потому что понятия вероятности нет в мире (по крайней мере на уровне подбрасывания монеток поэтому придется принять какие-то определения, задать модель (без этого вообще никакие вероятностные вопросы ставить невозможно).

shale60

ну разумеется, только пока что тут не было ни одного адекватного решения. ) Все только говорят, что это школьная задача и постят решения своих выдуманных задач.
ну, давать вероятностную задачу без пространства элементарных исходов и прочих предположений - это сильно
естественно, условие все за тебя додумывают, потому что ты не удосужился этого сделать
На "житейском" уровне тебе дали ответ при 2 тех вещах, которые ты возможно имел в виду:
больше на орел, потому что боян

ru.wikipedia.org/wiki/Ошибка_игрока

что тебя не устраивает ?

shale60

Вам дали монетку, которую вы подбросили 50 раз и она упала на орел. Когда вы подбрасываете ее в 51-й раз, вероятность какого исхода(орел или решка) больше и почему?
Если формально подойти, то всегда можно подобрать такие условия, не противоречащие твоему изначальному, что вероятность падения орлом в 51 раз может принимать все возможные значения из (0;1] (0 - невключительно, 1 - включительно - и принадлежит все между ними)
исходя из твоих данных это единственно возможный полный ответ, чтобы сказать что-то иное - нужно говорить дополнительные вещи
Но именно в житейском понимании обычно рассматривают те 2 случая, о которых я написал выше, считая, что задающий этот вопрос понимает, о чем он говорит

seregaohota

кто ясно мыслит, тот ясно излагает, ты же даже объяснить не можешь толком как нам правильно заформализовать твою задачу, чтобы решить
ответ у тебя какой, вероятность что выпадет орел не 51/52 случайно?
Если да, то приведи свое решение, а я попробую всем объяснить, что ты имел в виду. Можешь послать его модеру (как третейскому судье, чтобы мы не подглядывали я свое после этого здесь напишу.

luherstag

А почему это 0 невключительно?

coteico

Соглашусь с доводами против меня. Если идти совсем ab ovo, то одно уточнение все таки нужно.
Уточнение следующее: Для любой возможной монетки существует предел на бесконечном количестве бросков отношения количества орлов к количеству бросков, коий в данном случае и имеется в виду под вероятностью.
Вот. Этого, насколько я понимаю уже будет достаточно..

blackout

Для любой возможной монетки существует предел на бесконечном количестве бросков отношения количества орлов к количеству бросков
Это неправда. Первый курс матанализа.

coteico

Пусть это неправда, пусть. Это предположение необходимое для корректности задачи и возможности ее решения, в отсутствии любимого тут предположения об идеальности монетки)

blackout

необходимое для корректности задачи и возможности ее решения
Вовсе нет. Я могу предположить, что твое предположение как раз неверно и одновременно, что после 50 орлов монетка всегда падает орлом вверх. При таком предположении я вполне смогу решить твою задачу.

shale60

а если предположить, что при каждом броске вероятность события {выпадения орла} - постоянна - то все равно, у задачи может быть бесконечное число решений
Пусть вероятность орла - 0.01. Мог он выпасть 50 раз подряд? да конечно мог
Тогда вероятность его выпадения в 51 раз - 0.01
Пусть вероятность орла - 0.99
Тогда вероятность его выпадения в 51 раз - 0.99
Если снять это предположение, то мы можем жить в мире, где монетка всегда в 51 раз падаем орлом вверх/решкой вверх
Тогда вероятность 1 и 0 соответственно
но это странный мир, я его не рассматривал

coteico

Пусть вероятность орла - 0.01. Мог он выпасть 50 раз подряд? да конечно мог
Тогда вероятность его выпадения в 51 раз - 0.01
Пусть вероятность орла - 0.99
Тогда вероятность его выпадения в 51 раз - 0.99
Ну так вот оно и есть твое пространство событий - континуум разных вариантов монеток с определенной вероятностью выпадения орла.
И нужна вероятность с учетом именно этого.

unlim7729

напиши уже что ль своё решение.

luherstag

Не дана изначальная плотность вероятности "вероятности". Если предположить, что U(0, 1 то ответ даст правило Лапласа. Предполагая что-нибудь другое, можно подогнать под любой результат.

coteico

Да, согласен..

seregaohota

По-видимому, ТС имеет в виду следующую постановку задачи: у нас есть несимметричная монета (типа шестеренки от часов с пипочками разной длины с разных сторон или похожа на обычную, но центр тяжести у нее неизвестно где) с вероятностью выпадения орла [math]$p$[/math], чему равна [math]$p$[/math] мы не знаем, у нас есть континуум гипотез (так-сказать бесконечномерный Байес)
 [math]$H_x = \{p=x| x\in[0,1]\}$[/math], все гипотезы равновозможны.
 Проводим [math]$n=50$[/math] независимых испытаний. Наступило событие [math]$A_n = A_{50}$[/math] - выпал орел.
Какова при этом вероятность события [math]$A_{n+1}=A_{51}$[/math]? Т.е. условная вероятность [math]$P\left(A_{51}|A_{50}\right)$[/math]?
Мое решение (выделить мышкой чтобы увидеть).
Я не стал заморачиваться с бесконечномерной формулой Байеса, перешел к геометрической вероятности. Тогда исходное пространство элементарных событий [math]$\Omega$[/math] это квадрат с нижним левым углом в начале координат и со стороной 1, по оси x - это номер гипотезы, по оси y высота каждого вертикального отрезка =1 пропорциональна плотности априорной вероятности данной гипотезы, т.к. они все равновозможны, то берем их все высотой 1. Далее, событие [math]$A_{50}$[/math] соответствует фигуре под графиком функции [math]$y=x^{50}$[/math] и [math]$A_{51}$[/math] аналогично. Вычисляя площади [math]$\int_0^1 x^n dx$[/math], получаем ответ 51/52

Lene81

Чего-то фигня какая-то. Представь себе, что ты не знал, что в предыдущие 50 раз выпал орел. Какова вероятность выпадения орла в 51-й раз? Что теперь изменится в твоих рассуждениях, если в предыдущие 49 раз выпал орел, а 1 — решка? Или 48 раз орел и 2 решка?

shale60

Чего-то фигня какая-то. Представь себе, что ты не знал, что в предыдущие 50 раз выпал орел. Какова вероятность выпадения орла в 51-й раз? Что теперь изменится в твоих рассуждениях, если в предыдущие 49 раз выпал орел, а 1 — решка? Или 48 раз орел и 2 решка?
мы не знаем, насколько монета несимметрична (не знаем вероятность орлов) - и тогда, разумеется, наши оценки зависят от априорной информации
Правда смысла от них особых нет, кмк :)
тут уже методы матстатистики более логично использовать, думаю

seregaohota

изменится вероятность конкретной гипотезы, не хочется мне Байеса рассказывать
если я тебе дам две шестеренки от часов, ты обе бросишь по 50 раз, одна упадет все 50 раз на орел, а вторая только 48, ты скажешь что у них одинаковые вероятности упасть на орел что ли? Как же ты на свете то живешь после этого, у нас и у животных Байес в мозги зашит, отсюда и ошибка игрока ссылку на вики тут давали.
Скажем кошка около подъезда оттуда кто-то выходит - надо ли ей делать ноги? От априорной вероятности зависит, зашитой в хард, т.е. в мозги, если она котенок, то она обычно от всего большого и незнакомого убегает. Козлята (горные животные изначально, в мозги трехмерность мира зашита) знают про 3d мир от рождения и не шагают спокойно если там яма, эксперименты показывают что человеку пофигу как ползать начинает - пока шишек не набьет - лезет. Апостериорная вероятность зависит от личного опыта конкретного животного и чему его родители учили, если вороны нервно реагируют на определенных людей потому что страдали от них, то их птенцы когда вырастут тоже, если родители при них так реагировали, хотя они сами лично от этих людей не страдали.
Ну вот кошка 10000 раз находилась у подъезда, 1000 раз у подъезда, когда кто-то выходил. 10 раз получила по башке, из них 20 раз выходил Вовочка и 5 раз дал ей по балде, а 15 раз просто не успел, хоть и пытался. Видит кто-то выходит - пространство всех возможных исходов сжалось до события A, которое наступило. Вероятность получить по башке подскочила, она напряглась и смотрит это маленький мальчик (событие В наступило) - она делает ноги - вдруг Вовочка, хотя будучи котенком наоборот бегала от больших, а не бегала от маленьких. В жизни постоянно происходят события, результаты мы запоминаем, исходные вероятности гипотез меняются.
Если у тебя нет никакой информации, как падала монетка, то у тебя есть априорное распределение гипотез по вероятностям (или в данном случае по плотностям вероятности данной гипотезы иметь место). Откуда берется - из условия, ТС сказал все гипотезы равновозможны, т.е. [math]$p(H_x)dx = 1 dx$[/math]
Глядим формулу полной вероятности, Байеса и т.п. и заменяем там суммы интегралами (ну или переходя к геометрии площадями а априорную и апостериорную вероятность гипотезы [math]$P(H_i)$[/math] и [math]$P(H_i|A)$[/math] на плотность веоятности [math]$p(H_x)dx$[/math] и [math]$p(H_x|A)dx$[/math]
формула [math]$p(H_x|A) = \dfrac{P(A|H_x)}{\int P(A|H_x) p(H_x) dx} = \dfrac{x^{50}}{\int x^{50}\cdot 1 dx} = \dfrac{x^{50}}{1/51} = 51 x^{50}$[/math]
Теперь эта апостериорная вероятность становится априорной для следующего броска монетки, т.е. в вычислениях вероятностей последующих событий меняем интеграл по мере [math]$p(H_x)dx$[/math] на только что полученную [math]$p(H_x|A)dx$[/math].
 
Представь себе, что ты не знал, что в предыдущие 50 раз выпал орел. Какова вероятность выпадения орла в 51-й раз?

O - выпал орел на 51 раз, мы ничего не знаем про предыдущие исходы
[math]$P(O) = \int P(O|H_x) p(H_x) dx = \int x \cdot 1 dx = \dfrac{1}{2}$[/math]
O - выпал орел на 51 раз, мы знаем, что все предыдущие исходы выпал орел
[math]$P(O) = \int P(O|H_x) p(H_x) dx = \int x \cdot 51 x^{50} dx = 51\int x^{51} dx = \dfrac{51}{52}$[/math]
этот ответ на задачу ТС я приводил выше в своем предыдущем посте из геометрической вероятности
 
Что теперь изменится в твоих рассуждениях, если в предыдущие 49 раз выпал орел, а 1 — решка?
В этом случае
[math]$p(H_x|A) = \dfrac{P(A|H_x)}{\int P(A|H_x) p(H_x) dx} = \dfrac{50(1-x)x^{49}}{\int 50(1-x)x^{49}\cdot 1 dx} = \textrm{лень считать}$[/math]
[math]$P(O) = \int P(O|H_x) p(H_x) dx = \int x \cdot \textrm{лень считать } \,dx = $[/math]
 
Или 48 раз орел и 2 решка?

Аналогично. Результат отличен от предыдущего естественно

seregaohota

кстати, спасибо за прикольную задачку, хоть и нечетко изначально сформулированную

Lene81

мы не знаем, насколько монета несимметрична (не знаем вероятность орлов) - и тогда, разумеется, наши оценки зависят от априорной информации
Правда смысла от них особых нет, кмк :)
А, чето я как-то пропустил допущение о несимметричности, полагал, что речь идет все еще об идеальной монете. Прошу пардону.

natunchik

А ви таки знаете историю про индуктивистских цыплят?
Жил был короче цыплёнок-индуктивист. Каждое утро он наблюдал как фермер приносит ему пожрать. Как правильный учёный-индуктивист цыплёнок сформулировал гипотезу: "фермер всегда приносит пожрать по утрам" и проверил её всеми доступными экспериментально и наблюдательно методами: фермер приносил еду и когда цыплёнок бегал кругами, и когда он прикидывался спящим, и в дождь и в безоблачную погоду, и после полнолуния и перед новой луной.
Как раз приблизительно через 50 дней фермер свернул цыплёнку-индуктивисту шею! Но и это ещё не всё: десятки и сотни миллиардов цыплят применяют индуктивистский подход каждый год, и все как один оказываются не правы, таким образом мы можем индуктивно заключить что индукция как принцип познания мира никогда не работает!
А вы тут со своей монеткой...

Badyss

Решил тоже поизвращаться.
Интерпретировать задачу топикстартера можно таким образом:
"Есть несимметричная монета, у которой орёл выпадает с вероятностью p.
Мы провели 50 экспериментов в ходе которых орёл выпал 50 раз. С какой вероятностью орёл выпадет в 51-ый".
Понятно, что ответом на эту задачу будет p.
Осталось как-то его оценить. Это можно сделать в предположении, что вероятность случившегося наблюдения равна 1/2 (ага, как у блондинки и динозавра: "или встречу, или не встречу").
Вероятность того, что бросив монетку 50 раз выпадет орел равна p^50. Положив это равным 1/2 получается, что p = (1/2)^(1/50) = 0.986..., что к слову больше чем 51/52 = 0.981

Staarboy

Решение задачи: [ты фгмнутый с вероятностью 1; 9-классники закидают тебя остаткамми школьного обеда с вероятностью 1]

antcatt77

Это можно сделать в предположении, что вероятность случившегося наблюдения равна 1/2
насколько адекватна такая оценка?

griz_a

у нас есть континуум гипотез (так-сказать бесконечномерный Байес)
Если обратиться к творчеству Байеса дальше его формулы и взглянуть еще и на байесовский подход в математической статистике, то это самый обычный Байес :)

seregaohota

ты прав, но в обычной вузовской теории вероятностей это студенты не проходят
проходят ли на мехмате - не помню, у меня две гипотезы: проходят/нет с априорными вероятностями 0.8 и 0.2 :lol:

Badyss

насколько адекватна такая оценка?
Полноценный ответ на задачу в моей интерпретации:
с вероятностью 0.5 искомая вероятность больше чем (1/2)^(1/50) и с вероятностью 0.5 меньше.
Естественно, что вместо 0.5 можно взять и другое значение, некоторое "а", отличное от 0.5 (например 0.9) и решить уравнение p^50 = (1-а).
Взяв а = 0.9 получится p = 0.955.
То есть можно быть на 90% уверенным, что бросив монетку 1000 раз можно будет увидеть орла не менее 955 раз.
Можно аналогично посчитать, что с 90% вероятностью p окажется меньше чем 0.998.
Отсюда - прямой источник прибыли для топикстартера :D
Он может организовать следующую игру: форумчане стремящимся к бесконечности числом бросают данную монетку и если она выпадает орлом, топикстартер выплачивает 1 руб, а если решкой, то "лох" отдаёт 499 руб. Тогда с вероятностью 90% организатор "игры" будет в плюсе.

seregaohota

Остапа понесло. Он почувствовал прилив новых сил и шахматных идей. (с) Ильф и Петров
 

griz_a

В общем курсе статистики проходят байесовский подход только с точки зрения минимизации риска, но априорные\апостериорные плотности там возникают.
Насколько возятся на семинаре существенно зависит от преподавателя, кто-то вообще пропускает. Я, например, люблю - это довольно жизненная штука и интересная.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: