Полиномы, теорема Сильвестра

kaseopia

Подскажите, плз, как посчитать коэффициенты Sk для матрицы квадратичной формы? Саму теорему можно найти в книге Прасолова (страница 43). Там написано, что данный коэффициент есть сумма квадратов корней. Но потом сказано, что сами корни считать не надо - можно использовать коэффициенты полинома.

goga7152



Там написано, что данный коэффициент есть сумма квадратов корней. Но потом сказано, что сами корни считать не надо - можно использовать коэффициенты полинома.
Теорема Виета + основная теорема о симметрических многочленах.

kaseopia

Ээээ... Туплю. А можно поподробнее?

goga7152

Если я правильно понял, то вопрос в том, как выразить через коэффициенты полинома сумму квадратов его корней. По теореме Виета коэффициенты приведенного полинома -- элементарные симметрические многочлены от его корней (с точностью до знака). По основной теореме о симметрических многочленах любой симметрический многочлен (в частности, сумма квадратов) является многочленом от элементарных симметрических. Значит, осталось найти явную формулу, что сделать очень легко.

mtk79

А легкость не зависит от степени многочлена?

goga7152

Нет, не зависит

Вообщем, если я ничего не напутал, то сумма квадратов корней полинома a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n есть (a_1/a_0)^2-2a_2/a_0.

mtk79

Да, конечно не зависит, вторую степень можно заработать только из двух первых элементарных сим.многочленов, и наличие остальных (степени, большей 2) на рез. не влияет.
Что называется, забыл подумать.

kaseopia

Ну, да, так оно и есть Эх, мне бы полное понимаение алгебры...
А можете помочь ещё? Просто есть ряд вопросов по комплексным алгебраическим многообразиям (в своё время я поднимал вопрос о связности оных в неприводимом случае, Вы и господин отвечали, только тогда у меня практически не было понимания того, что было сказано). Ежели что, можно будет с этими вопросами к Вам поприставать?
Заранее благодарен!

goga7152

Да, конечно

Правда, сегодня я очень занят, так что могу ответить начиная с завтра.

kaseopia

Конечно-конечно! Как только будете свободны! Огромное пасиба! Ежели что, лучше в форуме вопрс задавать в этом разделе или приваты слать?

goga7152



Ежели что, лучше в форуме вопрс задавать в этом разделе или приваты слать?
В форуме я думаю лучше тем, что могут ответить другие люди (возможно более компетентные чем я). А сам постараюсь следить за вопросами, которые Вы будете задавать

kaseopia

-ый вопрос возникает сразу - кроме теоремы Штурма, теоремы Сильвестра и теорем, связанных с дискриминантом не существует возможности определения наличия вещественного корня у некоторого полинома из R[x]? Существуют ли какие-нибудь теоремы, которые бы по коэффициентам многочлена указывали, что есть хотя бы 1 корень у многочлена (общего вида) из R[x]?

kaseopia

-й вопрос - по идее, аффинное многообразие в C^n является комплексно-аналитическим множеством? Что-то туплю.

kaseopia

Исходя из теорем:
Теорема.
Множество регулярных точек произвольного аналитического множества А всюду плотно в А, а множество его особых точек замкнуто и нигде не плотно в А.
Предложение
Аналитическое множество А неприводимо тогда и только тогда, когда множество регулярных точек А (reg A) связно.
можно ли сказать, что существует гладкая кривая, соединяющая две любые точки неприводимого комплексного аналитического множества А?
Если нет, то что ещё надо добавить? Как лучше доказывать?
(теоремы почерпнуты из книги Е.М. Чирка "Комплексные аналитические множества").

kaseopia

Что такое "Лемма об отборе кривых"? Просто для вещественного случая доказательство существования кусочно-гладкой кривой (и только кусочно-гладкой) сказали, что вытекает из этой леммы.

kaseopia

Буду очень признателен за ответы! Особенно по вопросам существования кривых.

kaseopia

Заранее прощу прощения, если вопросы по сути тупые.

kaseopia

up

goga7152

1-ый вопрос возникает сразу - кроме теоремы Штурма, теоремы Сильвестра и теорем, связанных с дискриминантом не существует возможности определения наличия вещественного корня у некоторого полинома из R[x]? Существуют ли какие-нибудь теоремы, которые бы по коэффициентам многочлена указывали, что есть хотя бы 1 корень у многочлена (общего вида) из R[x]?
Если честно, сходу я помню только один результат подобного рода: всякий многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет (хотя бы один) вещественный корень
 
2-й вопрос - по идее, аффинное многообразие в C^n является комплексно-аналитическим множеством? Что-то туплю.
Да, насколько я помню определения. Ведь многочлены --- аналитические функции. См. например Гриффитс, Харрис "Принципы алгебраической геометрии", том 1.
 
Исходя из теорем:
Теорема.
Множество регулярных точек произвольного аналитического множества А всюду плотно в А, а множество его особых точек замкнуто и нигде не плотно в А.
Предложение
Аналитическое множество А неприводимо тогда и только тогда, когда множество регулярных точек А (reg A) связно.
можно ли сказать, что существует гладкая кривая, соединяющая две любые точки неприводимого комплексного аналитического множества А?
Если нет, то что ещё надо добавить? Как лучше доказывать?
Насколько я понимаю, в случае неприводимого A множество reg A — неособое связное комплексное многообразие, в частности, дифференцируемое многообразие. Любые две точки связного дифференцируемого многообразия можно соединить гладкой кривой (т.к. в данном случае понятия связности и линейной связности совпадают и любую непрерывную кривую на гладком многообразии можно "сгладить" в ее гомотопическом классе). Т.е. любые две регулярные точки можно соединить гладкой кривой. Если точки не обязательно регулярны, то, думаю, что их можно соединить кривой, гладкой в любой своей внутренней точке (хотя с особыми многообразиями я, честно говоря, не очень знаком).
 
Что такое "Лемма об отборе кривых"? Просто для вещественного случая доказательство существования кусочно-гладкой кривой (и только кусочно-гладкой) сказали, что вытекает из этой леммы.
Понятия не имею. Гугление (на русском и английском) не помогает?

kaseopia

Хм... Просто думал, что если одна точка лежит в множестве особых точек, то для неё, в силу нигде неплотности множества особых точек в А следует, что можно выбрать сходящуюся последовательность в reg A. Тогда мы для каждой точки последовательности построим гладкую кривую. И будем сколь угодно близко подбираться к нашей точке. В силу того, что Замыкание reg A совпадает а А (это, вроде, так? наша последовательность сойдётся именно к искомой точке особого многообразия. Это верно или нет? Если нет, то почему?

kaseopia

Почему нужен такой критерий в отношении полиномов - просто нужно переписать шаг "продолжения" решения для исключающих идеалов над кольцом полиномов многих переменных. Это всё связано с базисами Грёбнера. По теореме об "исключении" при соответствующем lex-упорядочении они "исключают" 1, 2, 3... переменных, т.е. каждый последующий элемент базиса Грёбнера (рассматриваем редуцированные базисы, хотя даже в случае обычного базиса это тоже имеет место то бишь полином, содержит на 1 или более переменных меньше. Посему выстраивается цепочка полиномов, которые содержат всё меньше и меньше переменных. Может случиться, что последний полином в эторм списке будет зависеть вообще от одной переменной. Очень удобно. Так вот, можно "продолжать" наши решения, начиная я последней переменной на предпоследнюю, потом с пары "последняя-предпоследняя" на, соответственно, тройку переменных (надеюсь, понятно излагаю, а то у меня с объяснениями не очень). Для того, чтобы продолжить решение, например, с (A(k...A(n до (A(k-1...,A(n нам необходимо найти общий корень полиномов базиса соответствующего исключающего идеала (т.е. некоторой системы полиномов, которая зависит от X(k-1...,X(n при подстановке, соответственно, в X(k...,X(n) соответствующих значений A(k...,A(n).
Теорема о продолжении, которая изложена в книге "Кокс, Литтл, О'Ши "Идеалы, многообразия и алгоритмы"", к сожалению, работает только в случае поля комплексных чисел. поля вещественных чисел она превращается в необходимое условие (согласитесь, тоже неплохо). Так вот, необходимо написать достаточные условия. А уж если придумать КРИТЕРИЙ, то я буду кипятком от радости писаться.
Просто те теоремы и свойства, которые я описал, являются лишь достаточными условиями и не покрывают всех возможных вариантов, да и вычисление некоторых аспектов их довольно трудоёмко. Единственный бонус - можно работать с НОД, а это куда приятнее, чем работать с кучей полиномов. Благо НОД(F1,...,Fn) = НОД(F1,НОД(F2,...
У кого-нибудь какие-нибудь идеи есть?
Буду оооочень благодарен.

kaseopia

ап

kaseopia

ап2

kaseopia

Да, что-то туплю, ведь нигде не плотное в множестве G множество А не может быть связным, так ведь?
Всё, надо ноотропы пить, хоть поумнею чутку...

kaseopia

И последний раз ап

goga7152



нигде не плотное в множестве G множество А не может быть связным, так ведь?
Почему? Нигде не плотное множество топ. пространства G — это подмножество, не плотное ни в каком открытом подмножестве G. Например, точка на прямой со стандартной топологией нигде не плотна.

kaseopia

Хм... Да, точно, действительно так. Что-то просто подумалось, что из того, что в любом шаре, множества содержится шар, не содержащий с данным ни одной общей точки, следует, что оно не может быть связно. А теперь, кажись, понимаю, что, например, прямая на плоскости с естественной топологией - нигде не плотное множество на плоскости. Так ведь?
Но в моём случае для решения задачи не требуется, чтобы sng A не было связным, у меня есть то, что reg A связно + замыкание reg A есть само А. Этого хватает для доказательства существования гладкой кривой в произвольном неприводимом аффинном многообразии

mtk79

А теперь, кажись, понимаю, что, например, прямая на плоскости с естественной топологией - нигде не плотное множество на плоскости. Так ведь?
Извините за деструктивизм, Вы спрашиваете, понимаете ли Вы (кажись) что... - но это Вам должно быть намного виднее.

kaseopia

Бессонные ночи не способствуют нормальному изложению мыслей
Просто спросил, верно ли я понимаю, что данное утверждение имеет место.

goga7152



например, прямая на плоскости с естественной топологией - нигде не плотное множество на плоскости. Так ведь?
Да, это так.

kaseopia

О, тогда понятна теорема об аналитичности sng A. Жаль, тут нет смайла "тупой"

kaseopia

Да, и таки самый последний вопрос из серии "Помогите тупому написать диплом". Как напрямую доказать, что из аналитичности reg A следует, что существует гладкая кривая, соединяющая данные 2 точки. Типа, следует из того, что подмножество аналитичного множества аналитично и кривая - такое подмножество? Как построже?

kaseopia

Самый-самый последний раз ап. Больше беспокоить не буду тупыми вопросами, только подсобите ещё разок. Плиз!

roman1606

Жаль, тут нет смайла "тупой"

kaseopia

Насчёт смайла теперь буду в курсе.
Эх, природа несправедлива ко мне...
А вот Вы, господин , в теме, посему, может, поможете? А за мной не заржавеет!
Господину уже огромный респект и всяческая уважуха, ему хоть сейчас готов проставляться.

kaseopia

Эх, придётся своими силами...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: