Доказать сходимость ряда

DevisDevis

Помогите доказать сходимость ряда при b>1
,
где
.
An(b) можно еще записать в таком виде

Точно известно, что он сходится, но доказать никак не получается.
Если у кого получится, тому тортик!

romanenkoroman1

получилось, что An(b) ~ (eb)^n/e^(bn) . Отсюда следует сходимость

ARTi

нетривиально ты посчитал

vovatroff

Интегральный признак не пробовали?
Вроде должно там сработать...

griz_a

И что там делать с интегралом от гамма-функции?

vovatroff

Я предлагал интегрировать A_n(b) по n , там нет гамма-функций (но к ним сводится).

griz_a

Ну так там в знаменателе как раз гамма-функция от n и стоит.

vovatroff

Я про верхнюю формулу для A_n
Там конечная сумма, внутри только степени n, снаружи экспонента.
Элементарно берется.
Где автор-то? Ждет, пока мы слово за слово за него все и сосчитаем?

griz_a

Гм. Только там верхний предел суммы зависит от n, это ничего?

vovatroff

Может, внутреннюю сумму тоже интегралом оценить? Интеграл от степенной
функции снова степенная, ежличо...
Кстати, я тортики не люблю (to author )

griz_a

Так она-то конечная, тут уже не тянет вопрос, а сходится ли ряд. Или вы знаете неравенство между конечной суммой и интегралом?

vovatroff

Ну сверху-то можно оценить... Криволинейную трапецию прямоугольниками и наоборот...
В чем проблема-то? Или я чего не вижу?
Знакочередования нет, все просто вроде...

griz_a

Т.е. вы интегралом монотонной функции оцените? Или как вы собираетесь подгонять трапеции больше прямоугольников в узлах?

vovatroff

Кстати, только сейчас обратил внимание на странное условие b>1.
А с виду не скажешь.
Возможно, вы правы, и все несколько хуже, чем мне казалось.

dal-las

При b<=1 ряд расходится

vovatroff

Доказывать умеете? Вопрос был в том.

dal-las

Доказывать не умею.
Смотрел в maple для больших n

z731a

все верно!
A_n(b) < 1/b * (eb)^n/e^(bn)

griz_a

Да, доказывается путем домножения на bn, замены n-i на n, а конечного отрезка суммирования на бесконечный...

z731a

так n получится

DevisDevis

Прошу прощения за то, что долго не отвечала, не имею возможности часто смотреть форум.
Спасибо всем большое!
Все оказалось гораздо проще, чем я думала.
Если вы так не любите тортики, могу отблагодарить яблоками или соком , только напишите, куда и когда их принести!

vovatroff

Пардон, мадам, тортики не люблю я, но я их и не заслужил в этом треде
А что любят коллеги, доблестно решившие вашу задачку, спросите у них
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: