Задача на оптимизацию

dctytgjxtv

Помогите, пожалуйста, решить задачу на нахождение максимума. Главную сложность представляет максимизация по верхнему пределу суммирования. Не уверена, что задача имеет решение, в таком случае я буду очень рада доказательству или схеме доказательства, что решения нет.

sashok01

Выберем такое K, что C(K) не равно нулю
Рассмотрим два случая:
1) Существует max S(.)=A. Тогда найдём такое X, что S(X)=A. Возьмем все числа delta_t такими, что X=K*p_t-delta_t*C(K) - для этого достаточно взять delta_t = (K*p_t -X)/C(K). Если A>0, то максимум будет равен M*A. Если A<=0, то максимум будет равен A.
2) Не существует max S(.) (например, sup tanh(x) =1, но ни при каких x tanh(x) != 1). Тогда задача решения не имеет. Пусть sup S(.)=A. При любом выборе аргумента X всегда можно найти такой аргумент X1, что S(X1)>S(X) (мы имеем право произвольно выбирать аргумент X по тем же причинам, что и в 1) и, соответственно, если A<=0, то супремум искомой функции будет равен A, но максимума не достигнем никогда (не имеет смысла выбирать N отличное от 1, т.к. все члены в сумме и <=0 и если A>0, то супремум будет равен M*A и тоже не достигнем никогда, так как каждый член в сумме не может достичь A
АПД. Случай 1) невозможен, если понимать под возрастающей функцией строго возрастающую, т. е. если для любых X2>X1 S(X2)>S(X1)

dctytgjxtv

Так, очень прошу прощения, я похоже пропустила еще одно важное условие:сумма всех delta_t равна единице.
Но без этого условия решение тоже было нужно, так что все равно спасибо!

sashok01

интересно, откуда берется такая задача.
Означает ли возрастание функций S(.) и C(.) строгую монотонность?
Могут ли дельты быть отрицательными? Если могут, то сумма всех дельт или всех модулей дельт равна единице?
Могут ли p_t быть отрицательными?

dctytgjxtv

Задача берется на границе ОПУ и микроэкономики. Дельты могут быть отрицательными. Сумма всех дельт, а не модулей равнаа единице. P-t тоже могут быть отрицательными. Возрастание подразумевает строгую монотонность. Спасибо за уточненяющие вопросы!

Niklz

А напиши интерпретацию всех этих величин и самой задачи оптимизации - просто интересно..

BSCurt

Главную сложность представляет максимизация по верхнему пределу суммирования.
Э-м, решать задачу при каждом фиксированном N, а затем выбрать максимум из них, тем более их там конечное число.

dctytgjxtv

И как это сделать аналитически? Численно-то ладно, можно было бы что-то подставить. Я пробовала решить решить задачу заменив суммирование интегралом чтобы понять вообще что там может происходить, но что-то пока что ничего не вышло.

BSCurt

И как это сделать аналитически?
Никак, зачем? (Хотя может быть из структуры задачи можно что-нибудь наскербсти)

dctytgjxtv

Ответ "никак" слишком пессимистичен. :(
Зачем? Потому что хотелось бы решить задачу.

sashok01

есть ли какая-нибудь информация о положительности/отрицательности/знакопеременности S(. C(.)?

dctytgjxtv

В изначальной задаче никакой, но можно сделать предположение, что C(.) всегда положительная, если это поможет.

BSCurt

Потому что хотелось бы решить задачу.
Там даже если нет вариации N "решение" довольно условно можно назвать решением - ну продифференцируешь ты эту лабубду по неизвестным - получишь жуткую систему уравнение для неизвестных функций, что с ней делать-то?
(если повезет наверное можно доказать что критическая точка единственна и является максимумом)
К тому же оно видимо не всегда существует (достаточно рассмотреть случай N=M=1)
В общем лучше задаться вопросом зачем оно тебе всё это надо и что именно от этого хочется?

dctytgjxtv

Проанализировать, когда решение может существовать, если его нет в общем случае. Повертеть задачу в разные стороны, посмотреть как переменные влияют одна на другую, как зависят от параметров. Все-таки я пока надеюсь, что что-то из общей задачи можно вытащить. Возможно, более сложным методом, чем просто нахождение первой и второй производной.
Без вариации N решение отлично упрощается и находится именно производными.

dctytgjxtv

Интерпретация всего займет очень много места: не менее трех страниц текста, так что если не возражаете, я ограничусь кратким объяснением.
Я решаю упрощенную задачу оптимизации инвестиционного вложения в проект при условии, что из проекта можно выйти в любой промежуточный момент времени. Собственно это и есть максимизация по M.

BSCurt

А ну да, я затупил, при фиксированном N решение действительно сильно упрощается.

sashok01

ну если решается при фиксированном N, то что мешает взять максимум из решений при различных N?

BSCurt

В любом случае там медитировать надо из-за специального вида задачи, не знаю возьми все p_i=const, i=1...M и посмотри как ведёт себя решение при разных N. Или, действительно, перейди "эквивалентной" по смыслу задаче с непрерывным времен и решай её (хотя там оптимальное управление будет так что не факт что легче). Не знаю может динамическое программирование в помощь.

dctytgjxtv

Я не представляю как подставлять аналитическое решение в основную функцию и смотреть когда она будет максимальной, если честно.

BSCurt

Кстати, если положить все p_i равными, то, если не ошибаюсь, все дельты должны быть 1/N, тогда всё сводится к оптимизации N S(p K - C(K)/N и можно было бы забить на целость N продифференцировать все по N и K и убедиться что всё равно всякая жуть в формулах получается. Вобщем, не любая задача имеет красивое решение, к тому же дискретную оптимизацию наивно надеяться провести аналитическими методами.

Niklz


Главную сложность представляет максимизация по верхнему пределу суммирования.
По-поводу максимизации по N - чисто общее соображение - не обязательно заменять сумму интегралом и дифференцировать по верхнему пределу, в конечном случае же проще:
Обозначим твою сумму X(N тогда рассмотри X(N+1)/X(N) и если эта дробь убывает по N то X(N) "выпукла вверх" и максимум при N0 находится решением неравенств:
X(N0+1)/X(N0) <= 1 <= X(N0)/X(N0-1)
относительно N0.

dctytgjxtv

По-моему рассматривать эту дробь получается еще сложнее, чем решать изначальную задачу. Не совсем понятно как опять же выглядит убывание по N. И другой вопрос, куда девать условие на дельты при такой оптимизации. Если бы при рассмотрении дроби хоть что-то куда-то сокращалось...

dctytgjxtv

Да, действительно получается жуть. Я знаю, что наивно думать, что есть стандартный метод решения. Но если бы он существовал, я бы не обратилась на этот форум. Перед этим я уже пересмотрела кое-какие задачники по матанализу и по оптимальному управлению.

vadim_sv74

Преподы кафедры ОПУ на мехмате вам в помощь. Здесь их, видимо, нет.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: