Геометрия и теория чисел

BoBochka

В этой теме буду вспоминать разные интересные, но малоизвестные сейчас вещи из геометрии и теории чисел. Узкоспециальные результаты не приемлются. Интересуют жемчужины и удивительные находки за все время существования науки, которые сейчас многими забыты или упущены из виду за обилием технических деталей.
Приветствуются также ссылки на лучшую литературу.

BoBochka


Двенадцать вершин икосаэдра можно получить из вершин трех прямоугольников, которые пересекаются в одной точке под прямым углом, причем отношения сторон прямоугольников — золотое сечение.
Это легко видеть из картинки, если рассмотреть большую сторону прямоугольника как диагональ правильного пятиугольника.

mtk79

как можно легко видеть из картинки, что
отношения сторон прямоугольников — золотое сечение
?

BoBochka

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, ...
Все известные человечеству совершенные числа — треугольные, причем длина стороны числа-треугольника является простым числом (и это степень двойки без единицы).

Пока мы знаем только о четных совершенных числах, но не известно даже конечно их количество или нет.
Наибольшее найденное на сегодняшний день совершенное число — это треугольное число со стороной равной

P.S. Простое доказательство треугольности четных совершенных чисел напишу, когда починят тег math.

BSCurt

Предрекаю, что тема не взлетит.

olga-sklyarova


Смотри!

olga-sklyarova

И ещё один баянчик от Рамануджана.

(можно доказать, что никакое слагаемое в правой части не является элементарной функцией (комбинация дробно-линейных, возведение в рациональную степень и показательная с целым основанием) от пи, е и рациональных чисел)

BoBochka

Красивая задача, спасибо! :)
Доказательство вроде бы такое. Из шести окружностей, касающихся изнутри большой окружности Z, нужно выбрать три через одну, обозначим их через A, B и С. Построим теперь окружность D, касающуюся этих трех, и сделаем инверсию F, которая переведет Z и D в концентрические окружности. Тогда F(A F(B) и F(C) — окружности одного радиуса. Обозначим их точки касания с F(Z) через A, B и C, а точки касания образов других трех окружностей с F(Z) через A`, B` и C`.
Из попарных равенств дуг между точками касания (AC` = C`B, BA` = A`C, CB` = B`A) следует, что AA`, BB` и CC` — биссектрисы треугольника ABC, следовательно, они пересекаются в одной точке. Поэтому и их прообразы при инверсии F также пересекаются в одной точке.
Только это не обязательно будут прямые :o В общем, пока это решение только частного случая задачи, когда три через одну окружности имеют одинаковый радиус...
P.S. Тождество Рамануджана, думаю, не осилю. Может быть ты оставишь ссылки, по которым можно найти его доказательство?

BoBochka

Только это не обязательно будут прямые
Доделал до конца. Решение оказалось очень красивое.
На образе (при описанной выше инверсии F) рассмотрим следующее произведение трех двойных отношений:
П = [AA`, BC] [BB`, CA] [CC`, AB]
Напомню определение двойного отношения четырех точек:
[AB, CD] = (AC * BD) / (AD * BC)
Имеем: П = (AB/AC) (A`C/A`B) (BC/BA) (B`A/B`C) (CA/CB) (C`B/C`A) = (A`C/A`B) (B`A/B`C) (C`B/C`A)
Из равенств AC` = C`B, BA` = A`C, CB` = B`A очевидно следует, что П = 1. Но при инверсии двойные отношения сохраняются, поэтому на прообразе (на исходной картинке с произвольными шестью внутренними окружностями) соответствующее произведение П трех двойных отношений также равно единице. Если раскрыть это произведение (как это было сделано выше) и заметить, что длина хорды окружности пропорциональна синусу вписанного угла, который на нее опирается, то получим в точности соотношение из тригонометрической теоремы Чевы (см. Википедию). Следовательно, три наши прямые, которые соединяют противоположные точки касания на объемлющей окружности, пересекаются в одной точке.

BoBochka


Рассмотрим две сферы A и B, которые касаются друг друга внешним образом и расположены внутри объемлющей сферы C, которой они тоже касаются. То есть имеются три сферы, касающиеся друг друга.
Далее, внутри сферы C выбираем произвольную сферу X_1, которая касается изнутри сферы C и снаружи сфер А и В. Затем строим следующую сферу X_i (i >= 2 которая, подобно сфере X_1, касается сфер A, B и C, а также касается снаружи сферы X_{i - 1}. В итоге получаем некоторую цепочку сфер, кружащуюся в свободном (от сфер A и B) пространстве внутри сферы C.
Оказывается, вне зависимости от выбора начальной сферы X_1, а также "опорных" сфер A, B и C, цепочка X_1, X_2, ... получится замкнутой и в ней будет ровно шесть сфер!

Это замечательное наблюдение было сделано в 30-х годах 20 века Фредериком Содди, лауреатом Нобелевской премии по химии (1921 которую он получил за открытие изотопов и за предложенную им (совместно с Резерфордом) теорию радиоактивного распада. Содди назвал получающуюся замкнутую цепочку из шести сфер словом "hexlet".
Доказательство этой красивой теоремы удивительно простое. Достаточно сделать инверсию относительно точки касания сфер А и В. Тогда сферы А и В перейдут в параллельные плоскости, между которыми расположится касающаяся их сфера C`, которая является образом объемлющей сферы C. А образ нашей цепочки сфер X_1, X_2, ... , очевидно, не может быть ничем иным, как шестью равными сферами, которые расположены вокруг сферы C`, касаются её и друг друга и обеих плоскостей:

Более подробную информацию о Hexlet-е можно найти в статье "Soddy's hexlet" из Википедии.

BoBochka


Согласно теореме Декарта, открытой в 1642 году, кривизны четырех касающихся друг друга окружностей удовлетворяют уравнению:
(a + b + c + d)^2 = 2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
Здесь кривизна (т.е. величина, обратная радиусу окружности) может иметь отрицательный знак, если окружности касаются внутренним образом. Следовательно, по школьной теореме о сумме корней квадратного уравнения имеем:
a_1 + a_2 = 2 (b+c+d)
Отсюда очевидно, что все кривизны нарисованного на картинке бесконечного семейства окружностей (называемого укладкой Аполлония) являются натуральными числами. Действительно, стартуя с трех больших окружностей (с кривизнами -1, 2 и 2 мы можем с помощью предыдущей формулы последовательно вычислить кривизны всех последующих окружностей, используя при этом только сложение, вычитание и умножение на два. Например,
   x + x = 2 * (2 + 2 + (-1 => x = 3;
   x + 2 = 2 * ( 2 + 3 + (-1 => x = 6;
   x + (-1) = 2 * (2 + 2 + 3) => x = 15;
   x + 2 = 2 * (2 + 3 + 15) => x= 38.
 
В настоящее время активно исследуется задача об описании множества натуральных чисел (кривизн окружностей которое получается при этой и других подобных целочисленных укладках Аполлония. См., например, статью "Apollonian Circle Packings: Number Theory" (2002).
У исследователей возникает красивая гипотеза о том, что множество кривизн окружностей в целочисленной укладке Аполлония является объединением нескольких классов вычетов по некоторому модулю за исключением, быть может, конечного количества чисел, которые отсутствуют среди кривизн окружностей укладки. В частности, для кривизн окружностей из нарисованной выше укладки Аполлония проверено (до 10^6 что кривизны полностью заполняют классы 2, 3, 6 и 11 по модулю 12 за исключением 61-ного числа из классов 2, 3 и 6, наибольшее из которых не превосходит ста тысяч. А то, что кривизны никогда не выходят за пределы классов 2, 3, 6 и 11 (mod 12 следует из доказанной в статье теоремы.
Кроме того, в 2010 году было доказано, что число k = k(n) различных кривизн окружностей в целочисленной укладке Аполлония, которые по величине не превосходят n, не меньше чем c * n при достаточно больших n, где с — некоторое положительное число:
k(n) > c * n при n > n_0.
Другими словами, та часть множества натуральных чисел, которая состоит из кривизн окружностей укладки, занимает во всем множестве натуральных чисел ненулевую долю (или имеет положительную плотность). См. статью "A Proof of the Positive Density Conjecture for Integer Apollonian Circle Packings" (2010).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: