вопрос по линалу

primula1

 имеется квадратная матрица А. l_1, l_2, ..... , l_n - ее собственные значения (не обязательно разные).
 находим ее жорданову форму и жорданов базис . пусть в жордановой форме присутствует клетка размера больше 1, на пример 2.
 тогда (как я понимаю, может и не верно собственными значениями матрицы e^A будут значения: e^(l_1 e^(l_2 ..... , e^(l_n).
 тогда, получается, e^Ax=e^lx (т.к. Ax=lx т.е. собственные векторы у этих двух матриц будут одинаковыми.
 а вопрос такой: будут ли одинаковыми их присоединенные векторы для жордановых клеток размера больше 1?
п.с.: если написал очень непонятно, сильно не пинайте, постараюсь исправиться!

z731a

попробуй расписать в таком виде:
(e^Aприсоединенный_вектор) = (I+A+A^2/2+...присоединенный_вектор) = ...

primula1

попробуй расписать в таком виде:
(e^Aприсоединенный_вектор) = (I+A+A^2/2+...присоединенный_вектор) = ...
"(присоединенный_вектор)" слева и справа одинаковые? присоединенный для А или для e^A?

primula1

я понимаю ситуацию так:
пусть х - собственный вектор матрицы А для собственного значения l, x_1 - присоединенный первого порядка для l. тогда х - также собственный вектор матрицы e^A для e^l. для e^l также будет существовать присоединенный первого порядка, пускай это будет некий х_2. надо доказать, что х_1=х_2.

Vlad128

надо доказать, что х_1=х_2
Почему ты решил, что присоединенный вектор один?

primula1

Почему ты решил, что присоединенный вектор один?
да, я немного неправильно написал.
просто я решаю более глобальную задачу, в ходе решения которой я пришел к моменту, в котором нужно понять, как действует матрица e^A на присоединенный вектор матрицы А (в обозначениях предыдущего поста вектор х_1 т.е. найти (e^A)*(x_1)=?. я предположил, что (e^A)*(x_1)=(e^l)*(x_1)+x. а это и будет обозначать, что (x_1) является присоединенным вектором первого порядка матрицы e^A, соответствующим собственному значению e^l.
а теперь хочется понять, правильным ли было мое предположение, и, если нет, то как будет правильно.
п.с.: я даже до сих пор не уверен про правильность моих соображений относительно собственных значений и векторов матрицы e^A. жду Ваших комментариев.

Vlad128

а теперь хочется понять, правильным ли было мое предположение, и, если нет, то как будет правильно.
п.с.: я даже до сих пор не уверен про правильность моих соображений относительно собственных значений и векторов матрицы e^A. жду Ваших комментариев.
А ты пробовал уже на простейших матрицах, уже имеющих жарданову форму хотя бы размеров 2х2 или 3х3 проверять свои предположения?
Просто мысль такая вертится: присоединенные векторы - это сложение, когда потенциируешь, в соответствующей части получаешь умножение. Почему должна сохраниться "присоединенность" - :confused:

primula1

А ты пробовал уже на простейших матрицах, уже имеющих жарданову форму хотя бы размеров 2х2 или 3х3 проверять свои предположения?
проверил на матрице 3*3. получилось: (e^Ax_1)=(e^lx_1+x).

surm1988

Если я правильно поняла вопрос, то переформулировать его можно так: есть матрица A, для нее найден жорданов базис. Вопрос: как в этом базисе выглядит матрица оператора exp(A)?
Пусть А представлена в жордановом виде (то есть запишем ее в своем жордановом базисе). Удобно разложить ее в сумму А = S + N, где S — диагональная часть, а N — все остальное (сумма нильпотентных жордановых клеток)
Поскольку S и N коммутируют, то exp(A)=exp(S)*exp(N).
exp(S) — это диагональная матрица вида diag(exp(l_1...,exp(l_n (l_1,...,l_n собственные значения, не обязательно различные)
exp(N) можно найти, пользуясь обычным рядом для экспоненты:
exp(N)=E+N+(1/2)N^2+(1/3!)N^3+...
Поскольку N нильпотентна, то ряд в данном случае будет конечен (ограничен размером максимальной жордановой клетки А).
Кажется, так. Готова что-то обсудить подробнее :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: