Градиент выпуклой функции

soldatiki

1) Верно ли, что субж существует всюду за исключением, быть может, нигде не плотного множества (задача ставтится в локально выпуклом ТВП).
/* Пример: производная выпуклой функции из R в R может не существовать лишь в не более чем счётном мн-ве точек. */
2) Верно ли, что в R^n субж не только определён, но ещё и непрерывен всюду за исключением, быть может, нигде не плотного мн-ва.
Это нужно для доказательства (или опровержения) того, что граница выпуклого тела кусочно гладкая.

soldatiki

АП !
Господа, поактивнее! Нужно, очень нужно. Для курсовой.

vodnik2

Насчет нигде не плотного кажется сомнительным.
Вроде бы можно нарисовать выпуклый овал, с изломами, например, в для каждого двоично-рационального аргумента (в полярной системе координат).
Делается это пример так: нарисуем сначала, квадрат, затем "опишем вокруг него" (неправильный) восьмиугольник, четные вершины которого совпадают с вершинами квадрата, затем 16-угольник и т.д.. При этом будем следить, чтобы угол в каждой вершине оставался меньше некоторой величины (зависящей от вершины строго меньшей развернутого угла.

aleksei86

Что-то сомнительно, что мн-во изломов будет плотно где-нибудь... Тем более, если ограничить величину углов. Ведь в сумме углы должны давать конечное значеение... Что-то как-то не прозрачно...

vodnik2

В каждой вершине нарисуем угол меньше развернутого (на рисунке это бардовый уголок) и потребуем, чтобы углы очередного описываемого многоугольника лежали внутри этого заданного угла.
Тогда предельная кривая в точке будем иметь излом и угол будет заведомо не больше нарисованного уголка.
Вершины с изломами ясно очевидно кодируются двоично-рациональными числами. И легко сделать так, чтобы такие точки лежали всюду плотно на кривой.

Аналогичную штуку можно устроить и в любой размерности.
Для понимания, может, сначала стоит обдумать пример монотонной функции на отрезке, имеющей разрывы в каждой двоично-рациональной точке - моя конструкция примерно в том же духе.

soldatiki

Да, понятно. Спасибо.
Получается, что выпуклая функция может не иметь градиента на плотном подмножестве.
Печально...
Тогда другая задача.
Допустим, этот самый градиент, чтоб его, существует всюду. Можно ли утверждать, что он будет непрерывно (хотя бы в слабом смысле) зависеть от точки, где вычисляется? (Функция ограничена.)
(Пример из матана: производная не может иметь разрывов первого рода)

soldatiki

По пункту 1) выяснилось, что утверждение не верно. Пункт 2 соответственно, отпадает.
Другая постановка вопроса:
Пусть градиент функции R^n \to R определён всюду. Можно ли утверждать, что тогда он непрерывно зависит от точки, где вычисляется? (непрерывность хотя бы слабая)

Irina_Afanaseva

просто существует функция R -> R
всюду дифференцируемая, с кое-где разрывной (не ограниченной локально) производной
типа f(x) = x^2 sin(1/x^3) кроме нуля и f(0)=0
- в нуле плохо

soldatiki

А если потребовать от функции ещё и выпуклости, не исправит ли это ситуацию?
(По условию функция непрерывна и ограничена)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: