Лебегова мера нулей многочлена

margo11

Мне нужна ссылка, где было бы доказано (или из которой бы следовало) следующее:
m-мерная лебегова мера множества нулей многочлена f(x_1, ..., x_m) в R^m, отличного от тождественного нуля, с вещественными коэффициентами равна нулю.

Kirill_off

а какая мощность множества всех корней?

kachokslava

например, у многочлена x^2+y^2-1 мощность нулей - континуум

Kirill_off

всё, понял о чём речь.
а эти вопросы вообще где рассматриваются?
что-то я не помню в курсе действана-функана такого

seregaohota

По идее если некая точка корень, рассмотрим некоторый эпсилон шарик, в любой эпсилон-окрестности есть значения многочлена не равные нулю (иначе если он тождественно равен нулю в некотором шаре - он равен нулю всюду т.к. он сам и все производные там 0, а многочлен совпадает со своим рядом Тейлора по нему построенным) - то применив теорему о неявной функции получим гиперповерхность размерности меньше размерности пространства. Приплетая производные, которые у многочлена ограничены можно выбрать окрестность, в которой нет других поверхностей где он обращается в 0. Значит мера нуль.
Не так?

Kirill_off

там нужно, чтобы были все равные нулю.
иначе у тебя множество рациональных чисел под рассуждение подходит

afony

Индукция по n.
1) при n=1 - очевидно
2) По предположению индукции множество M таких (x_2,...,x_n при которых f не зависит от x_1, имеет (n-1)-мерную лебегову меру 0. Значит M1:=MxR имеет n-мерную лебегову меру 0. Для каждого же из наборов (x_2,...,x_n) из R \ M одномерная мера лебега тех x_1, где f(x_1,x_2,...,x_n)=0, также равна 0. Следовательно равна 0 и n-мерная лебегова мера нулей f вне M1, а значит и вообще всех нулей этого многочлена.

griz_a

Для каждого же из наборов (x_2,...,x_n) из R \ M одномерная мера лебега тех x_1, где f(x_1,x_2,...,x_n)=0, также равна 0. Следовательно равна 0
Многочлен P(x1,x2)=x1x2, мера тех x1 при x2=0 зануляющих многочлен равна inf

afony

x_2=0 - это множество M1, оно имеет двумерную лебегову меру 0. Противоречия нет.

griz_a

С утверждением, что при фиксированном наборе (x_2,...x_n) одномерная мера зануляющих x_1 равна 0 есть. А равенства нулю n-мерной меры может и не хватить, ибо потом их еще надо объединить по всем фиксированным наборам

afony

Еще как хватит, ведь n-мерная лебегова мера множества равна интегралу по R^(n-1) (переменные t_2,...,t_n) от функции равной одномерной мере пересечения этого множества с соответствующей прямой x_2=t_2, ..., x_n=t_n, то есть интегралу от нулевой функции (то есть 0 ).

Lokomotiv59

поднимался же этот вопрос не так давно. И ты даже привел пправильное доказательство

griz_a

Почему от нулевой функции-то? Одномерная может и не быть 0

afony

Она равна 0 почти всюду по (x_2,...,x_n ведь для почти всех фиксированных (x_2,...,x_n) f превращается в нетривиальный многочлен от x_1 и, следовательно, имеет конечное число нулей.

margo11

Всем спасибо! Особенно
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: